Studio di funzione

[mircosam]

salve a tutti, sto studiando questa funzione e non sono sicuro di alcuni risultati ottenuti, potete controllare??? grazie
$f(x)= log |(sqrt(x+1)-2)/(sqrt(x+1)+2)| $
Dominio:$ x>=-1 $ e $x!=3$
Funzione pari
segno: Negativa da -1 a 1 e positiva da [1,+00[
intersezioni: (x=0, y= log 1/3); (y=0,x=-1)
asintoto verticale: x=3
asintoto orizzontale: y=0

[Zero87]

"mircosam":salve a tutti, sto studiando questa funzione e non sono sicuro di alcuni risultati ottenuti, potete controllare??? grazie
$f(x)= log |(sqrt(x+1)-2)/(sqrt(x+1)+2)| $

Bene, cominciamo.

"mircosam":Dominio:$ x>=-1 $ e $x!=3$

E' ok... ricordo di aver letto una risposta di Gi8 - che saluto - riguardo a questo dominio riferito a quella funzione: non ricordo se il thread era tuo o no... boh...

"mircosam":Funzione pari

Mah, non so se si può definire tale dato che per $x<0$ è definita solo in una strisciolina (cioè $x>1$): però non ho controllato, quindi la mia osservazione lascia il tempo che trova...

"mircosam":segno: Negativa da -1 a 1 e positiva da [1,+00[

Controlla meglio, il logaritmo è negativo quando il suo argomento è minore di $1$.
Posso postare il mio procedimento perché se hai risolto vuol dire che sai come si fa (magari con un metodo diverso dal mio, questo non lo so!).

$|\frac{\sqrt(x+1)-2}{\sqrt(x+1)+2}|<1$
Ora, siccome per $x> -1$ (il dominio di $f$, ricordiamolo!) il denominatore è sempre positivo, abbiamo (prima di tutto utilizzo una proprietà del modulo $|a/b|=\frac{|a|}{|b|}$ per $a,b$ reali con $b$ non nullo)
$|\frac{\sqrt(x-1)-2}{\sqrt(x+1)+2}|=\frac{|\sqrt(x+1)-2|}{|\sqrt(x+1)+2|}=\frac{|sqrt(x+1)-2|}{\sqrt(x+1)+2}$
Tornando alla nostra condizione da verificare
$\frac{|\sqrt(x-1)-2|}{\sqrt(x+1)+2}<1$
cioè
$|\sqrt(x+1)-2|<\sqrt(x+1)+2$
che per $x>3$ diventa
$\sqrt(x+1)-2<\sqrt(x+1)+2$ ovvero $-2<2$ e ok...!
mentre per $-1 $2-\sqrt(x+1)<\sqrt(x+1)+2$ ovvero $-2\sqrt(x+1)<0$ che c'est vrai.
Dunque $x>-1$ in generale fa assumere valori negativi (questa disuguaglianza deriva dal porre "argomento<1", ricordiamo.

"mircosam":intersezioni: (x=0, y= log 1/3); (y=0,x=-1)

Per $x=0$ otteniamo $y=log(1/3)$ e ok.
Ok anche l'altra.

Gli asintoti mi sono stati sempre antipatici e mi serve più tempo per controllare.