Studio di funzione
Ragazzi mi serve una mano su questo studio di funzione:
$ f(x) = sqrt(2x^2 - sin^3x) $
Quando vado a valutare il dominio mi viene $ 2x^2 >= sin^3x $ ora io ho provato a fare un grafico qualitativo di $ sin^3x $ e non riesco a determinare con sicurezza che sia sempre maggiore. Inoltre quando vado a valutare la derivata mi viene:
$ ((4x - 3sin^2xcosx) / (2sqrt(2x^2 - sin^3x))) > 0 $ e anche qui mi viene: $ (4x > 3sin^2xcosx) $
come faccio a valutare che sia maggiore?
$ f(x) = sqrt(2x^2 - sin^3x) $
Quando vado a valutare il dominio mi viene $ 2x^2 >= sin^3x $ ora io ho provato a fare un grafico qualitativo di $ sin^3x $ e non riesco a determinare con sicurezza che sia sempre maggiore. Inoltre quando vado a valutare la derivata mi viene:
$ ((4x - 3sin^2xcosx) / (2sqrt(2x^2 - sin^3x))) > 0 $ e anche qui mi viene: $ (4x > 3sin^2xcosx) $
come faccio a valutare che sia maggiore?
Risposte
Da un disegno abbastanza grossolano sembra che $2x^2-\sin^3x\ge 0$ sempre; del resto $\sin^3x$ va a zero come $x^3$, quindi si appiattisce di più di un quadrato attorno a $0$. Prova a vedere di fare dei controlli precisi quando $x\in [0,\sqrt2/2]$, al di fuori di questo intervallo mi pare sia facile verificare la disuguaglianza.
si infatti il primo punto ero riuscito con un ragionamento analogo a farlo... ma per quanto riguarda la derivata? li il grafico è molto più complicato...
Prova a fare un'altra derivata del numeratore... potresti ricavare informazioni sulla monotonia del numeratore che in $0$ fa $0$...
dopo un pomeriggio intero mi sono accorto di aver letto la domanda in modo sbagliato, o meglio non approfondito. La riformulo:
Data la seguente funzione $ f(x) = sqrt(2x^2 - sin^3(x)) $ provare che la restrizione di f all'intervallo $ [3/4 ; +oo) $ è invertibile, e detta g l'inversa, scrivere, se esiste, il polinomio di linearizzazione di g in $ y_0 = pisqrt(2) $
Allora ho provato che all'interno di quell'intervallo la funzione è strettamente monotona e quindi invertibile. Ora se provo a scrivere la funzione inversa di f non ne esco. C'è qualcosa che mi sfugge? Il polinomio di linearizzazione è il polinomio di taylor? Non dovrebbe in questo caso oltre che al punto specificarmi di che ordine lo vuole?
Data la seguente funzione $ f(x) = sqrt(2x^2 - sin^3(x)) $ provare che la restrizione di f all'intervallo $ [3/4 ; +oo) $ è invertibile, e detta g l'inversa, scrivere, se esiste, il polinomio di linearizzazione di g in $ y_0 = pisqrt(2) $
Allora ho provato che all'interno di quell'intervallo la funzione è strettamente monotona e quindi invertibile. Ora se provo a scrivere la funzione inversa di f non ne esco. C'è qualcosa che mi sfugge? Il polinomio di linearizzazione è il polinomio di taylor? Non dovrebbe in questo caso oltre che al punto specificarmi di che ordine lo vuole?
Ok ho risolto. Il polinomio di linearizzazione è dato da $ P(x) = g(y_0) + g'(y_0)(y-y_0) $ essendo $ y_0=f(x_0) $ trovo che $g(y_0) = x_0 $ inoltre essendo $x_0 = pi $ utilizzo il teorema della derivata della funzione inversa per calcolarmi la derivata prima e ho tutto. In definitiva dovrebbe venire $ P(x) = pi + (sqrt(2)/2)(y-pisqrt(2)) $
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