Studio di funzione
Salve!
Ho da studiare questa funzione $[xlog|x|]^(1/3)$ e mi sta dando qualche problemino.
Per quanto riguarda il dominio ho dedotto che sia tutto R, visto che il radicando e l'argomento del logaritmo non creano problemi in questo caso.
Non è nè pari nè dispari, e non ha asintoti ( almeno questo è quello che risulta dai miei calcoli ).
Ora, una volta arrivata al calcolo della derivata, come procedo?
Grazie mille in anticipo!!!
Ho da studiare questa funzione $[xlog|x|]^(1/3)$ e mi sta dando qualche problemino.
Per quanto riguarda il dominio ho dedotto che sia tutto R, visto che il radicando e l'argomento del logaritmo non creano problemi in questo caso.
Non è nè pari nè dispari, e non ha asintoti ( almeno questo è quello che risulta dai miei calcoli ).
Ora, una volta arrivata al calcolo della derivata, come procedo?
Grazie mille in anticipo!!!
Risposte
$f(x)=(x ln|x|)^(1/3)=root(3)(x ln|x|)$
Beh no, il dominio non è tutto $RR$: che condizione devi imporre al logaritmo?
Per il calcolo delle derivata devi avvalerti del teorema di derivazione delle funzioni composte.
Beh no, il dominio non è tutto $RR$: che condizione devi imporre al logaritmo?
Per il calcolo delle derivata devi avvalerti del teorema di derivazione delle funzioni composte.
Ma la condizione che devo imporre al logaritmo non è che l'argomento sia maggiore di 0? In questo caso ho il modulo,quindi l'argomento dovrebbe essere sempre positivo...dove sbaglio?
Cmq per quanto riguarda la derivata devo calcolarne due a seconda che x sia maggiore o minore di 0,giusto? potresti aiutarmi per quella con x<0? Grazie ancora!
Cmq per quanto riguarda la derivata devo calcolarne due a seconda che x sia maggiore o minore di 0,giusto? potresti aiutarmi per quella con x<0? Grazie ancora!
"marips":
Ma la condizione che devo imporre al logaritmo non è che l'argomento sia maggiore di 0? In questo caso ho il modulo,quindi l'argomento dovrebbe essere sempre positivo...dove sbaglio?
Sì è proprio quella, ma deve essere strettamente positiva, cioé devi imporre $|x|>0$, e ciò è vero se...
"marips":
Cmq per quanto riguarda la derivata devo calcolarne due a seconda che x sia maggiore o minore di 0,giusto?
Ma anche no!
Basta ricordarsi che $d/(dx)|x|=|x|/x=x/|x|$
"Brancaleone":[/quote]
[quote="marips"]Ma la condizione che devo imporre al logaritmo non è che l'argomento sia maggiore di 0? In questo caso ho il modulo,quindi l'argomento dovrebbe essere sempre positivo...dove sbaglio?
Sì è proprio quella, ma deve essere strettamente positiva, cioé devi imporre $|x|>0$, e ciò è vero se...
Deduco quindi che il dominio sia tutto R meno lo zero! Giusto?
Che sciocca che sono!
Esatto, il dominio è $(-oo, 0) cup (0, +oo)$
La derivata riesci a calcolarla?
La derivata riesci a calcolarla?
Mi sta creando un pò di problemi...
Alla fine mi rimane:
$1/3(log|x|)^(-2/3)*(log|x|+1)$ ma non riesco a procedere
Alla fine mi rimane:
$1/3(log|x|)^(-2/3)*(log|x|+1)$ ma non riesco a procedere
Allora:
hai una radice cubica con dentro un argomento che chiamiamo $t=t(x)$.
Seguendo il teorema di derivazione per funzioni composte, la derivata è la composizione dei singoli blocchi, e cioè:
*la derivata della radice;
*la derivata dell'argomento della radice.
Mettendo insieme, si ha:
$f(x)=root(n)(t)=t^(1/n)$ con $t=xln(|x|)$
$f'(x)=(t^(n-1))/n cdot d/(dx)t$
Il primo pezzo corrisponde alla derivata della radice, il secondo alla derivata dell'argomento. Detto questo, quanto vale la derivata?
EDIT:
La formula di risoluzione è in realtà
$f'(x)=(t^(1/n-1))/n cdot d/(dx)t$
hai una radice cubica con dentro un argomento che chiamiamo $t=t(x)$.
Seguendo il teorema di derivazione per funzioni composte, la derivata è la composizione dei singoli blocchi, e cioè:
*la derivata della radice;
*la derivata dell'argomento della radice.
Mettendo insieme, si ha:
$f(x)=root(n)(t)=t^(1/n)$ con $t=xln(|x|)$
$f'(x)=(t^(n-1))/n cdot d/(dx)t$
Il primo pezzo corrisponde alla derivata della radice, il secondo alla derivata dell'argomento. Detto questo, quanto vale la derivata?
EDIT:
La formula di risoluzione è in realtà
$f'(x)=(t^(1/n-1))/n cdot d/(dx)t$
Ho seguito esattamente il tuo metodo, ma il risultato mi porta quello che ho scritto prima
credo che dovrei andare avanti a semplificare,ma non trovo un modo efficace per farlo!
credo che dovrei andare avanti a semplificare,ma non trovo un modo efficace per farlo!
$f(x)=(x ln|x|)^(1/3)=root(3)(x ln|x|)$
$f'(x)=(xln(|x|))^(-2/3)/3 cdot (ln(|x|)+(|x|/x)/|x|x)=1/(3(xln(|x|))^(2/3)) cdot (ln(|x|)+1)=$
$=(ln(|x|)+1)/(3 root(3)(x^2ln^2(|x|)))$
EDIT: perdonami ma ho sbagliato a scriverti la formula sopra, colpa mia
$f'(x)=(xln(|x|))^(-2/3)/3 cdot (ln(|x|)+(|x|/x)/|x|x)=1/(3(xln(|x|))^(2/3)) cdot (ln(|x|)+1)=$
$=(ln(|x|)+1)/(3 root(3)(x^2ln^2(|x|)))$
EDIT: perdonami ma ho sbagliato a scriverti la formula sopra, colpa mia
Grazie mille,non so come ringraziarti!
A questo punto trovo il dominio della derivata e calcolo il limite per i punti in cui non è definita, giusto? ( in questo caso 0,1,-1) ?
A questo punto trovo il dominio della derivata e calcolo il limite per i punti in cui non è definita, giusto? ( in questo caso 0,1,-1) ?
No, non c'è bisogno di calcolarsi questi limiti: basta che ne studi il segno una volta trovato il dominio, in modo da capire dove la funzione cresce
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