Studio di funzione (1)

[Hajra]

Studio della funzione:

[math]f(x) = \frac{1+\log|x|}{1-\log|x|}[/math]

Aggiunto 1 ora 44 minuti più tardi:

per il dominio(che non riesco mai scrivere bene) no lo so se quello il procedimento o no?

[Studente Anonimo]

Per il calcolo del dominio di quella funzione occorre intersecare la condizione che impone il denominatore diverso da zero (come hai ben scritto) e la condizione che impone l'argomento
del logaritmo maggiore di zero. In matematichese, si ha

[math]\begin{cases} 1-\log|x|\ne 0 \\ |x|>0 \end{cases} \; \Leftrightarrow \; \begin{cases} |x|\ne e \\ x\ne 0 \end{cases} \; \Leftrightarrow \; x \ne \pm\,e \; \land x \ne 0 \; . \\[/math]

Se fin qui è chiaro procedi pure con lo studio di funzione ;)

[Hajra]

su questo ho fatto la simmetria e studio del segno, mi può controllare se ho fatto bene o no?

[Studente Anonimo]

La simmetria l'hai studiata correttamente. Precisamente, si ha:

[math]f(-x)=\frac{1+\log|-x|}{1-\log|-x|}=\frac{1+\log|x|}{1-\log|x|}=f(x) \; \Rightarrow \; f \; è \; pari\;.\\[/math]

Nello studio della positività di

[math]f\\[/math]

occhio che

[math] \log|x|>-1 \; \Leftrightarrow \; |x| > \frac{1}{e} \; \Leftrightarrow \; \dots\\[/math]

e analogamente

[math] \log|x|

[Hajra]

che ne dici di questo???

[Studente Anonimo]

Hai risolto (quasi) correttamente le disequazioni (nella seconda occorre scartare

[math]x=0[/math]

) e
poi hai sbagliato il prodotto dei segni. Prova a rivederlo. Dovresti trovare che

[math]f[/math]

è positiva per

[math]-e < x < -\frac{1}{e} \; \vee \; \frac{1}{e} < x < e[/math]

. ;)

[Hajra]

ho trovato l'errore, ero distratta, adesso devo fare gli asintoti:

[math]limx-> 0^+ \frac{1+log|x|}{1-log|x|}= \frac{∞}{∞}[/math]

faccio de l'Hopital quindi:

[math]limx->0^+\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x}}[/math]

x di numeratore si semplifica con quello del denominatore, quindi:

[math]limx->0^+ \frac{1}{-1}= -1[/math]

quindi non c'è asintoto verticale, fino qui è giusto?????

[Studente Anonimo]

Fin qui è giusto,

[math]x=0[/math]

non è un asintoto verticale destro (stesso risultato lo si trova a sinistra per simmetria). Ora devi studiare il limite per

[math]x\to e[/math]

dato che pure quel valore è escluso dal dominio. Quindi passa allo studio del limite per

[math]x\to +\infty[/math]

;)

[Hajra]

allora se non sbaglio non esiste asintoto verticale nè su punto zero nè su e, esiste asintoto orizzontale , quindi non esiste asintoto obliquo, vero????

[Studente Anonimo]

Per quanto riguarda lo studio degli asintoti orizzontali/obliqui quello che scrivi è corretto. Invece, sull'asintoto verticale bada bene che in matematica, qualora non venga specificata la base, si
tratta di logaritmi in base naturale (

[math]e[/math]

). Dunque

[math]\log e=1[/math]

, da cui segue che

[math]\begin{aligned}\lim_{x\to e^-}\frac{1+\log|x|}{1-\log|x|}=+\infty\end{aligned}[/math]

mentre

[math]\begin{aligned}\lim_{x\to e^+}\frac{1+\log|x|}{1-\log|x|}=-\infty\end{aligned} \; .\\[/math]

Volendo tirare le somme sullo studio degli asintoti, tenendo conto della simmetria di

[math]f\\[/math]

, si ha:

- asintoti verticali: per

[math]x \to -e^{\pm}[/math]

:

[math]x=-e[/math]

; per

[math]x \to e^{\pm}[/math]

:

[math]x=e\\[/math]

;

- asintoti orizzontali: per

[math]x\to \pm \infty[/math]

:

[math]y=-1\\[/math]

;

- asintoti obliqui: assenti.

Vedi se ti ritrovi ;)

[Hajra]

poi un'altra cosa come riesco a mettere gli asintoti sul grafico?????

[Studente Anonimo]

Devi graficare le rette di equazione cartesiana

[math]x=-e[/math]

,

[math]x=e[/math]

,

[math]y=-1[/math]

(dove

[math]e\approx 2.7[/math]

). :)

[Hajra]

non è così prima mi hai detto k f è postivo -e < x < -1/e a me risulta negativo,
per quanto riguarda la derivata ti allego la foto
grazzieeeeeeeee

[Michele510]

Nella derivata prima non potevi fare quella semplificazione

[Studente Anonimo]

1. Prodotto dei segni (di f):

[math]
\begin{aligned}
& N: \, +\,+\,+\,+[-1/e]\,-\,(0)\,-\,[1/e]\,+\,+\,+\,+ \\
& D: \, -\,(-e)\,+\,+\,+\,+\,+(0)\,+\,+\,+\,+\,(e)\,-\,- \\
& --------------------- \\
& f: \, -\,(-e)\,+\,[-1/e]\,-\,\,(0)\,-\,[1/e]\,+\,(e)\,-\,-
\end{aligned} \\
[/math]

2. Derivata prima (di f):

[math]f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\left(1-\log|x|\right)-\left(1+\log|x|\right)\frac{-1}{x}}{\left(1-\log|x|\right)^2}=\frac{2}{x\left(1-\log|x|\right)^2} \; .\\[/math]

Tutto qui ;)