Studio di $cosh$
Ciao!
In un esercizio mi si chiede di dimostrare, senza fare uso di derivate, che l'immagine della funzione:
\$cosh=\frac{e^x+e^-x}{2}$ è $\[1,infty[\\$
Si vede facilmente che è pari, dunque, se riuscissi a dimostrare che è strettamente crescente o iniettiva, facendo i limiti per 0 e infinito avrei la tesi. Ma come posso fare?
Grazie ciao!
In un esercizio mi si chiede di dimostrare, senza fare uso di derivate, che l'immagine della funzione:
\$cosh=\frac{e^x+e^-x}{2}$ è $\[1,infty[\\$
Si vede facilmente che è pari, dunque, se riuscissi a dimostrare che è strettamente crescente o iniettiva, facendo i limiti per 0 e infinito avrei la tesi. Ma come posso fare?
Grazie ciao!
Risposte
Supponiamo che ci siano $x,y>0$ (considero solo due numeri positivi visto che sappiamo che la funzione è pari, quindi non sarà certo globalmente iniettiva) con $ cosh x = cosh y $ cioè $e^x + 1/(e^x) = e^y + 1/(e^y)$.
Con un po' di conti e sostituendo $z=e^y, t= e^x$ l'uguaglianza diventa: $t^2 z + z - z^2 t -t =0 \to t^2 z - t(z^2+1)+z=0$
Considerandola un'equazione di II grado in $t$, risolviamola e otteniamo
$t=\frac{z^2+1 \pm (z^2-1)}{2z}= z, 1/z$.
Se $t=z$ si ha, risostituendo, che $x=y$ e quindi abbiamo provato che la funzione è iniettiva per valori positivi.
La soluzione $t=1/z$ non è accettabile viste le ipotesi in quanto si otterrebbe $x=-y$ ma noi abbiamo supposto che entrambi i numeri siano positivi quindi ciò non potrà mai verificarsi.
Paola
Con un po' di conti e sostituendo $z=e^y, t= e^x$ l'uguaglianza diventa: $t^2 z + z - z^2 t -t =0 \to t^2 z - t(z^2+1)+z=0$
Considerandola un'equazione di II grado in $t$, risolviamola e otteniamo
$t=\frac{z^2+1 \pm (z^2-1)}{2z}= z, 1/z$.
Se $t=z$ si ha, risostituendo, che $x=y$ e quindi abbiamo provato che la funzione è iniettiva per valori positivi.
La soluzione $t=1/z$ non è accettabile viste le ipotesi in quanto si otterrebbe $x=-y$ ma noi abbiamo supposto che entrambi i numeri siano positivi quindi ciò non potrà mai verificarsi.
Paola
Perfetto grazie mille!
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