Studio di continuità e derivabilità

nitidoz
Salve gente, come faccio a dimostrare che la funzione \(\displaystyle f(x) = \log (|{x^2} + x|) \) è discontinua in 0 e -1?

Risposte
gio73
Ecco... giacchè l'argomento del logaritmo deve essere maggiore di 0, direi che la funzione non esiste in 0 e -1, dovrai poi fare i limiti destro e sinistro sia per x=0 che per x=-1, se ti viene (come credo) $-oo$ in tutti e 4 i casi ($0^-$, $0^+$, $-1^-$, $-1^+$) direi che puoi concludere che la funzione è discontinua (e la discontinuità è ineliminabile) per quelle ascisse.
Ti sembra corretto?

Plepp
Senza filosofare troppo, se sostituisci in $f(x)$ quei due valori lei ti restituisce $\log(0)$, che non ha senso, quindi lì la funzione è discontinua (in quanto la definizione di funzione continua in un punto $c$ presuppone l'esistenza di $f(c)$)...mi pare inutile calcolare limiti, per quanto semplici, in questa situazione.

Ciao ;)

robe921
In prima analisi, il dominio della funzione logaritmo presuppone il calcolo dei valori positivi dell'argomento del logaritmo ($log(x)\implies x>0$), ma in questo caso hai un valore assoluto all'interno dell'argomento, quindi è di per sé una quantità positiva. Ha senso quindi calcolare solo i punti che annullano la $x$, ovvero i punti che rendono $log(0)$, che in questo caso sono proprio $0$ e $-1$. Quindi l'insieme di definizione della funzione è $\mathbb{D}:(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;+\infty)$

gio73
"Plepp":
Senza filosofare troppo, se sostituisci in $f(x)$ quei due valori lei ti restituisce $\log(0)$, che non ha senso, quindi lì la funzione è discontinua (in quanto la definizione di funzione continua in un punto $c$ presuppone l'esistenza di $f(c)$)...mi pare inutile calcolare limiti, per quanto semplici, in questa situazione.

Ciao ;)

Giusto, ma a volte le disconitnuità sono eliminabili... non trovi? :D

Plepp
Su questo non ci piove. Però l'esercizio non penso richiedesse di determinare il tipo di discontinuità, quindi...e anche a volerlo fare, non c'è bisogno di fare grandi calcoli perchè, come tu stesso hai osservato, l'argomento del log tende sempre a $0^+$, da cui si ricava che la funzione va sempre a $-\infty$, in tutti e quattro i casi.

EDIT: scusami, mi sono confuso con l'intervento di robe92 :) cmq il concetto rimane quello

theras
"Plepp":
Su questo non ci piove. Però l'esercizio non penso richiedesse di determinare il tipo di discontinuità, quindi...e anche a volerlo fare, non c'è bisogno di fare grandi calcoli perchè, come tu stesso hai osservato, l'argomento del log tende sempre a $0^+$, da cui si ricava che la funzione va sempre a $-\infty$, in tutti e quattro i casi.

EDIT: scusami, mi sono confuso con l'intervento di robe92 :) cmq il concetto rimane quello

Tutti d'accordo,allora?
Io mi trovo più d'accordo con Giò,ma è solo questione di "scuola":
mi sà che le nostre erano simili..
Saluti dal web.

Plepp
Ciao theras. Non si tratta di "scuola" qui. Ho semplicemente osservato che un ragionamento come quello di Gio è superfluo in questo caso particolare (infatti non vogliamo determinare il tipo di discontinuità, ma solo se questa vi è o meno)...senza calcolare limiti (come dice Gio) e considerando che $\nexists f(0),f(-1)$, concludiamo che la funzione è discontinua in $0$ e $-1$. E abbiamo risposto esaurientemente a chi ha creato il thread.

theras
Si,Plepp,avevo notato che eri stato asciutto:
solo che è davvero ovvio che una funzione non sia continua in punti non appartenenti al suo dominio,
e dunque in un quesito come quello posto dall'autore del thread può venire il dubbio che ci sia qualcosa di più che gli è stato richiesto implicitamente tra le righe.
Considera pure che,in quegli anni,era dato per indispensabile,e quasi "meccanico",
stabilire comunque il tipo di discontinuità
(più avanti negli studi ho capito che accadeva perchè non può mai sapersi se può tornar utile per altre considerazioni..);
è un imprinting al quale è dura rinunciare,
e se ho ben intuito nemmeno Giò riesce a farlo:
in questo senso intendevo che è una "questione di scuola".
Saluti dal web.

gio73
Ecco... al sostantivo scuola andava aggiunto l'aggettivo VECCHIA (come me :cry: )
ad ogni modo theras sento odore di prof, mi sbaglio?

robe921
a cosa ti riferisci gio73?

gio73
credo che theras sia un prof

nitidoz
Grazie ragazzi molto molto esaurienti. Questa è una traccia di un appello e mi sa che va letta come ha fatto gio bisogna parlare del punto di discontinuità di seconda specie. I punti 0 e -1 li ho ricavati io un pò leggendo la traccia e un pò guardando il plot del grafico per conferma.

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