Studio di continuità, derivabilità per funzioni a 2 variabli

[vittorio.santeusanio]

Salve a tutti!

Qualcuno potrebbe cortesemente indicarmi il metodo da seguire per lo studio di continuità, derivabilità (cioè esistenza delle derivate parziali), esistenza derivate direzionali e differenziabilità in un generico punto $(x_0,y_0)$?

Ad esempio data la seguente funzione, con $ \vec x=(x,y)$

$f(x,y)={((x^3y)/(x^2+y^2),if \vec x!=\vec o),(0,if \vec x=\vec o):}$ con $(x_0,y_0)=\vec o=(0,0)$


Quali sono i passi da seguire per un buono svolgimento dell'esercizio?
Grazie.

P.S.
Scusate per il $ \vec x=(x,y)$ di parte ( daltra parte anche per il vettore nullo $\vec o$ ), ma mi uscivano cose strane se li mettevo direttamente nel sistema

[menale1]

Ti servono un po' di cosette dell'analisi . Per quanto concerne il limite , beh l'unico modo per dimostrare la continuità è proprio applicando la definizione e cercando di maggiorare le quantità con cui ti trovi ad operare , ricordando che la definizone di continuità impone : $ lim_((x,y) -> (x_0,y_0) ) f(x,y) = f(x_0,y_0) $ . Per la derivabilità studi il rapporto incrementale laddove sai che puoi avere un qualche problemino e cerchi di capire se la derivata sinistra e quella destra esistono finite . Se il punto critico è uno dei punti di frontiera puoi studiare direttamente il limite sulla derivata parziale da cui parti . Per la differenziabilità o applichi la definizione oppure ti ricordi che se le derivate parziali sono continue in un aperto allora la funzione è differenziabile in quell'aperto . Spero di esserti stato d'aiuto !