Studio di continuità, derivabilità e differenziabilità di una funzione di due variabili
Ciao a tutti, devo fare questo esercizio in cui devo studiare continuità, parziale derivabilità e differenziabilità della funzione di due variabili reali $ f(x)=((1-exp(x-y))^2)/sqrt(x-y) $ se x-y>0 , 0 altrimenti.
Mi ha messo in crisi perché gli esercizi che avevo fatto finora mi davano che la funzione valeva in un certo modo se (x,y)⌿(0,0) oppure anche solo y⌿0, mentre valeva 0 se (x,y)=(0,0) oppure y=0. Per la continuità facevo quindi $ lim_((x,y) -> (0,0)) $ della mia funzione e se il limite valeva 0 era continua. Procedevo con la parziale derivabilità e facevo quindi $ lim_(h -> 0) (f(x0+h,y0)-f(x0,y0))/h $ e $ lim_(k -> 0) (f(x0,y0+k)-f(x0,y0))/k $ . Poi per la differenziabilità $ lim_((h,k) -> (0,0)) (f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)-fx(x0,y0)h-fy(x0,y0)k)/sqrt(h^2+k^2) $ . Adesso invece ho la funzione per x-y>0, e non so come procedere..
Mi ha messo in crisi perché gli esercizi che avevo fatto finora mi davano che la funzione valeva in un certo modo se (x,y)⌿(0,0) oppure anche solo y⌿0, mentre valeva 0 se (x,y)=(0,0) oppure y=0. Per la continuità facevo quindi $ lim_((x,y) -> (0,0)) $ della mia funzione e se il limite valeva 0 era continua. Procedevo con la parziale derivabilità e facevo quindi $ lim_(h -> 0) (f(x0+h,y0)-f(x0,y0))/h $ e $ lim_(k -> 0) (f(x0,y0+k)-f(x0,y0))/k $ . Poi per la differenziabilità $ lim_((h,k) -> (0,0)) (f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)-fx(x0,y0)h-fy(x0,y0)k)/sqrt(h^2+k^2) $ . Adesso invece ho la funzione per x-y>0, e non so come procedere..
Risposte
Ciao, non cambia nulla. Lo zero è sempre il punto critico in cui studiare continuità, derivabilità, differenziabilità.
Per quanto riguarda la continuità, dovresti considerare tutti i punti che giacciono sulla bisettrice 1° e 3° quadrante e dimostrare che $[AA a in RR : lim_((x,y)->(a,a))f(x,y)=0]$. Tuttavia, per semplificare il procedimento, è conveniente utilizzare le curve di livello.
Per prima cosa io cambierei variabile, passa a
\[
X= x-y \quad Y=x+y\]
\[
X= x-y \quad Y=x+y\]
"Weierstress":
non cambia nulla
ok quindi dovrei fare tutto ciò che avrei fatto se avessi avuto x e y diversi da 0... adesso provo!
"anonymous_0b37e9":
è conveniente utilizzare le curve di livello.
ah e quindi in pratica cosa dovrei fare? Ho già sentito parlare di curve di livello, ma in questo caso come dovrei utilizzarle?
"dissonance":
Per prima cosa io cambierei variabile, passa a
\[ X= x-y \quad Y=x+y \]
scusami ma penso di non aver capito
Poiché la funzione assume valore costante su una retta parallela alla bisettrice 1° e 3° quadrante, conviene considerare le seguenti restrizioni:
$[y=x+q] rarr [f(x,x+q)=(1-e^(-q))^2/sqrt(-q)]$
Inoltre, poiché:
$[lim_(q->0^-)(1-e^(-q))^2/sqrt(-q)=0]$
la definizione di limite è soddisfatta all'interno di un'intera striscia delimitata dalla retta $[y=x+q] ^^ [q lt 0]$ e dalla bisettrice medesima, quanto basta per concludere che è verificata anche in ogni punto di quest'ultima.
P.S.
Per comprendere più facilmente le argomentazioni di cui sopra, il cambiamento di variabili proposto da dissonance, eliminando la dipendenza della funzione da una delle due, può senz'altro aiutarti. Trattandosi anche di una rotazione, la striscia, invece di essere inclinata di 45°, diventa parallela a uno dei due nuovi assi.
$[y=x+q] rarr [f(x,x+q)=(1-e^(-q))^2/sqrt(-q)]$
Inoltre, poiché:
$[lim_(q->0^-)(1-e^(-q))^2/sqrt(-q)=0]$
la definizione di limite è soddisfatta all'interno di un'intera striscia delimitata dalla retta $[y=x+q] ^^ [q lt 0]$ e dalla bisettrice medesima, quanto basta per concludere che è verificata anche in ogni punto di quest'ultima.
P.S.
Per comprendere più facilmente le argomentazioni di cui sopra, il cambiamento di variabili proposto da dissonance, eliminando la dipendenza della funzione da una delle due, può senz'altro aiutarti. Trattandosi anche di una rotazione, la striscia, invece di essere inclinata di 45°, diventa parallela a uno dei due nuovi assi.
Okay si sto iniziando a capire.. Ma per la derivabilità e la differenziabilità come devo fare?
Per quanto riguarda le derivate parziali, si può procedere calcolando i limiti delle definizioni nei punti $P(a,a) AA a in RR$:
$lim_(h->0^+)(f(a+h,a)-f(a,a))/h=lim_(h->0^+)(((1-e^(a+h-a))^2)/sqrt(a+h-a)-0)/h=lim_(h->0^+)((1-e^h)^2)/(hsqrth)=0$
$lim_(h->0^-)(f(a,a+h)-f(a,a))/h=lim_(h->0^-)(((1-e^(a-a-h))^2)/sqrt(a-a-h)-0)/h=lim_(h->0^-)((1-e^(-h))^2)/(hsqrt(-h))=0$
$lim_(h->0^+)(f(a+h,a)-f(a,a))/h=lim_(h->0^+)(((1-e^(a+h-a))^2)/sqrt(a+h-a)-0)/h=lim_(h->0^+)((1-e^h)^2)/(hsqrth)=0$
$lim_(h->0^-)(f(a,a+h)-f(a,a))/h=lim_(h->0^-)(((1-e^(a-a-h))^2)/sqrt(a-a-h)-0)/h=lim_(h->0^-)((1-e^(-h))^2)/(hsqrt(-h))=0$
Continuità
$z=x-y$
$lim z->0 ((1-e^z)^2)/sqrt(z) = 0$ ricordando il limite notevole $(e^z -1)/z =1$ per $z->0$
Derivabilità
$lim h->0 ((1-e^h)^2)/sqrt(h) =0$
$lim k->0 ((1-e^(-k))^2)/sqrt(-k) =0$
La funzione è differenziabile nell'origine.
E' giusto così in pratica se ho capito bene?
$z=x-y$
$lim z->0 ((1-e^z)^2)/sqrt(z) = 0$ ricordando il limite notevole $(e^z -1)/z =1$ per $z->0$
Derivabilità
$lim h->0 ((1-e^h)^2)/sqrt(h) =0$
$lim k->0 ((1-e^(-k))^2)/sqrt(-k) =0$
La funzione è differenziabile nell'origine.
E' giusto così in pratica se ho capito bene?
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