Studio di Continuità, Derivabilità e Differenziabilità di una Funzione

[Ballerina96]

Salve a tutti,
sono nuova del forum e mi scuso in anticipo nel caso non avessi rispettato qualche punto del regolamento.
Vorrei chiedervi aiuto in un esercizio il cui argomento è indicato nel titolo. La funzione da studiare è la seguente:

$ f(x,y)= e^sqrt(x^2+y^2) * sen(x-3y) $ in R^2

Per la risoluzione avevo pensato di utilizzare il criterio di differenziabilità, secondo cui la funzione è differenziabile se esistono le derivate parziali prime e se esse sono continue in ogni punto. Secondo i miei calcoli il dovrebbe risultare:

f(x,y) differenziabile in R^2 -{(0,0)}

Invece il risultato dice che è differenziabile in tutto R^2, ma non riesco a capire perché.
Potreste aiutarmi magari corredando i calcoli con la teoria, così mi sarebbe ancora più chiaro? Grazie mille a chi risponderà.

[@melia]

Hai controllato se le derivate parziali prime sono prolungabili per continuità in $(0,0)$?

[Ballerina96]

Ci avevo pensato, il fatto è che trovo maggiore difficoltà proprio in quest'ultimo calcolo... Non è che potresti darmi una mano nello sviluppo?

[fra_62]

Al posto di usare il teorema del differenziale totale io procederei verificando passo per passo: prima la continuità, poi la derivabilità e infine impostando il "limitone" andando a verificare la differenziabilità

[Ballerina96]

Bene grazie... Nel caso dovessi avere difficoltà ti farò sapere