Studio derivate direzionali

[cortex96]

Data la funzione $ f(x,y)=(|xy|)/(x^2+y^2)sin(x^2+y^2) $
stabilire se f(x; y) è continua, derivabile parzialmente e differenziabile nel proprio dominio.
Determinare lungo quali direzioni esistono le derivate direzionali in (0; 0) e calcolare, se esiste, la derivata direzionale in $ nu (1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) $ .

Credo di aver capito bene la teoria, ma ho dei dubbi nella pratica.
Per la continuità faccio il limite in coordinate polari
$ lim_(rho -> o) |rhocosthetarhosentheta|/rho^2 sin(rho^2) $ che tende a 0, quindi la funzione è continua.
Per la derivabilità parziale;
$ (|h0|/h^2sin(h^2)-0)/h=0 $ e $ (|0k|/k^2sin(k^2)-0)/k=0 $ quindi è derivabile parzialmente.
Differenziabilità:
$ lim_((h,k)-> (0,0)) (f(h,k)-0-0h-0k)/root2(h^2+k^2 $ che in coordinate polari diventa $ lim_(rho -> 0) (rho^2|costhetasentheta|/rho^2sin(rho^2))/(rho) $ cioè $ lim_(rho -> 0) rho|costhetasentheta|=0 $ quindi è differenziabile.
Per le derivate direzionali:
$ lim_(t -> 0) (f(alphat, betat)-f(0,0))/(t)=lim_(t -> 0) (|talphatbeta|/(alphat^2+betat^2) sinalphat^2+betat^2)/t $
che diventa $ lim_(t -> 0) t|alphabeta| $ quindi il limite esiste in tutte le direzioni. (Oppure, più velocemente, per il teorema del gradiente essendo la funzione differenziabile sarà derivabile lungo ogni direzione).
Infine, per calcolare la derivata direzionale in $ nu (1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) $, $ lim_(t -> 0) f(t/sqrt(2) , t/sqrt(2) ) $ che diventerebbe $ lim_(t -> 0) t/2=0 $ , ma soprattutto questo calcolo non mi convince visto che sarebbero uguali a zero tutte le derivate direzionali.

[dissonance]

Non è così strano. In coordinate polari la tua funzione è uguale a \(\sin(\rho^2)|\cos \theta \sin \theta|=\rho^2|\cos \theta\sin\theta|+O(\rho^6)\). Come vedi nell'origine c'è uno zero di ordine \(2\), per cui tutte le derivate si annullano.