[studio derivata] esponenziale di una fratta con moduli
Giorno a tutti, facevo in questi giorni degli esercizi propedeutici per un esame.
Lo studio di funzioni per esattezza.
Tutto bene, fino a quando non trovo questa funzione : $ e^{|x| + 1 // |x| - 2 } $
Ora lasciando stare che ho risolto i limiti destro/sinistro nei punti di discontinuità, punto x = 0, e per i limiti a $ pm oo $
Il problema è che non trovo documentazione sul come procedere per il calcolo della derivata, prima e seconda con moduli.
Se ho svolto correttamente i limiti questa funzione, sempre positiva, dovrebbe :
- crescere negli intervalli ($ - oo $, -2) U (-2, 0)
- decrescere negli intervalli (0, +2) U (+2, $ + oo)
non so calcolarla, in realtà non pretendo una spiegazione approfondita sul metodo generale, ma anche una documentazione online o testuale dato che nelle dispense della mia uni non vi è traccia, e su google non trovo nulla di chiaro (per un metodo generale intendo).
grazie millle in anticipo.
correzione : chiedo venia : ho scritto male, il punto x = 0 è compreso nel dominio di definizione della funzione, non lo è per la derivata perchè $|x|$ non ammette derivata in x = 0.
Lo studio di funzioni per esattezza.
Tutto bene, fino a quando non trovo questa funzione : $ e^{|x| + 1 // |x| - 2 } $
Ora lasciando stare che ho risolto i limiti destro/sinistro nei punti di discontinuità, punto x = 0, e per i limiti a $ pm oo $
Il problema è che non trovo documentazione sul come procedere per il calcolo della derivata, prima e seconda con moduli.
Se ho svolto correttamente i limiti questa funzione, sempre positiva, dovrebbe :
- crescere negli intervalli ($ - oo $, -2) U (-2, 0)
- decrescere negli intervalli (0, +2) U (+2, $ + oo)
non so calcolarla, in realtà non pretendo una spiegazione approfondita sul metodo generale, ma anche una documentazione online o testuale dato che nelle dispense della mia uni non vi è traccia, e su google non trovo nulla di chiaro (per un metodo generale intendo).
grazie millle in anticipo.
correzione : chiedo venia : ho scritto male, il punto x = 0 è compreso nel dominio di definizione della funzione, non lo è per la derivata perchè $|x|$ non ammette derivata in x = 0.
Risposte
la funzione è pari quindi in 0 è continua, piuttosto è discontinua in $x=+- 2 $ cioè dove l'esponente va a $oo$
per la derivata, proprio perchè è pari, puoi studiarla solo per $ x>0$ togliendo i moduli (la derivata di una funzione pari è una funzione dispari)
per la derivata, proprio perchè è pari, puoi studiarla solo per $ x>0$ togliendo i moduli (la derivata di una funzione pari è una funzione dispari)
"ReDavide":Non è proprio corretta questa argomentazione. Ad esempio la funzione
la funzione è pari quindi in 0 è continua,
$f(x)={(1, x ne 0), (0, x=0):}$
è pari e non è continua in $0$, direi.
[asvg]ymin=0; ymax=3;xmin=-10; xmax=10; axes(); circle([0, 1], 0.3); line([-11, 1], [-0.3, 1]); line([0.3, 1], [11, 1]); fill="black"; circle([0, 0], 0.3);[/asvg]
No? Forse usiamo definizioni diverse, però.
"ReDavide":
la funzione è pari quindi in 0 è continua
mmm come ha detto anche dissonance, non mi sembra giusto
$1/{x^2}$ è pari ma non è continua in 0
@Kayne ma l'esponente è $|x|+1/{|x|}-2$ oppure $|x|+ 1/{|x|-2}$??
si è vero pardon, meglio fare i limiti per la verifica della continuità 
Si scusate in 0 la funzione esiste, non esiste invece la derivata in quel punto, perchè angoloso.
L'esponente è l'intera funzione fratta:
la riscrivo cosi :
|x| + 1
--------
|x| - 2
ok siccome la funzione è sempre positiva calcolo la derivata considerando i valori di x senza modulo.
ma come dovrei calcolarla se fosse un logaritmo naturale e con argomento proprio quella funzione fratta ? ln non è sempre positiva.
L'esponente è l'intera funzione fratta:
la riscrivo cosi :
|x| + 1
--------
|x| - 2
ok siccome la funzione è sempre positiva calcolo la derivata considerando i valori di x senza modulo.
ma come dovrei calcolarla se fosse un logaritmo naturale e con argomento proprio quella funzione fratta ? ln non è sempre positiva.
È la funzione ad essere sempre positiva, non la x.
Per fare la derivata ti distingui i due casi $x>=0$ e $x<0$, o meglio studi solo il caso $x>=0$ perché ti stanno facendo osservare che la funzione è pari, quindi non serve fare la fatica di studiare entrambi i casi, basta lavorare con $x>=0$ e rappresentare la parte della funzione con x negativa per simmetria.
Per fare la derivata ti distingui i due casi $x>=0$ e $x<0$, o meglio studi solo il caso $x>=0$ perché ti stanno facendo osservare che la funzione è pari, quindi non serve fare la fatica di studiare entrambi i casi, basta lavorare con $x>=0$ e rappresentare la parte della funzione con x negativa per simmetria.
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