Studio derivata 1 / max e min
Salve a tutti, mi trovo con delle domande riguardanti lo studio delle funzioni, in particolare delle derivate. Per quanto riguarda la derivata prima: farò un po di domande alcune per conferma, altre che devo scoprire.
f'=0 per trovare max/min relativi ed eventualmente assoluti?
Quando un punto si dice assoluto? Dipende dall'intervallo?(se è limitato vedo quando vale f negli estremi e nei punti trovati?)
f''=0 per trovare i punti di flesso.
Quando e in che punti cerco una non derivabilità? Se mi viene richiesto un esempio specifico faccio i due rapporti incrementali da dx e sx.
Se ho una funzione es: $arctg (2-x-ln|4-x|)$ studiando il valore assoluto ho: $4-x>0 , x-4>0$ --> $x<4 , x>4$ allora x diverso da 4
Essendo l'arctg valida per valori di x tra $+ - oo$ il dominio è tutto R escluso 4. Confermate?
A questo punto vedo che la derivata prima in entrambi i casi del modulo, si annulla per 3 quindi minimo relativo. Non è minimo assoluto in quanto il dominio è illimitato? Per quanto riguarda invece il punto di non derivabilità, dove lo cerco? (non era richiesto lo studio della derivata seconda) Devo concentrarmi nei punti che appartengono al dominio della funzione ma non a quello della derivata prima? ritornando all'esempio il dominio delle derivate mi viene sempre diverso da 4.
Vorrei capire cosa mi perdo per migliorare nello studio di una funzione. Grazie a tutti e buona serata
f'=0 per trovare max/min relativi ed eventualmente assoluti?
Quando un punto si dice assoluto? Dipende dall'intervallo?(se è limitato vedo quando vale f negli estremi e nei punti trovati?)
f''=0 per trovare i punti di flesso.
Quando e in che punti cerco una non derivabilità? Se mi viene richiesto un esempio specifico faccio i due rapporti incrementali da dx e sx.
Se ho una funzione es: $arctg (2-x-ln|4-x|)$ studiando il valore assoluto ho: $4-x>0 , x-4>0$ --> $x<4 , x>4$ allora x diverso da 4
Essendo l'arctg valida per valori di x tra $+ - oo$ il dominio è tutto R escluso 4. Confermate?
A questo punto vedo che la derivata prima in entrambi i casi del modulo, si annulla per 3 quindi minimo relativo. Non è minimo assoluto in quanto il dominio è illimitato? Per quanto riguarda invece il punto di non derivabilità, dove lo cerco? (non era richiesto lo studio della derivata seconda) Devo concentrarmi nei punti che appartengono al dominio della funzione ma non a quello della derivata prima? ritornando all'esempio il dominio delle derivate mi viene sempre diverso da 4.
Vorrei capire cosa mi perdo per migliorare nello studio di una funzione. Grazie a tutti e buona serata
Risposte
Ad alcune provo a rispondere io... Non per mancanza di voglia, semplicemente sto da cellulare. 
Ammesso che la funzione f di partenza sia derivabile, porre $f'(x) =0$ ti permette di trovare punti di massimo, minimo e flesso a tangente orizzontale.
Basta vedere il comportamento di $f'$ in un intorno di ognuno di questi punti in cui la derivata si annulla: se, per esempio, $f'(x) $ risulta crescente sia a destra che a sinistra del punto in cui si annulla, hai un flesso a tangente orizzontale.
L'esempio pratico in tal senso è $f(x) =x^3$ per $x=0$.
È molto difficile, salvo pochi casi (es. c'è un solo punto in cui $f'(x) =0$ nell'intervallo), dedurre che un minimo/massimo sia assoluto solo dalla derivata prima. Quanto dici tra parentesi è in genere la strada da seguire e non solo nel caso di intervalli chiusi e limitati, ma anche di intervalli aperti (come $\RR$) con la differenza che, invece di calcolare direttamente il valore della funzione agli estremi dell'intervallo, nel caso di un aperto fai il limite.
Per esempio, la funzione $f(x) =x^3$ non ha né massimi né minimi in $\RR$ e la funzione $f(x) =e^x$, lo stesso, non ha né massimi né minimi in $\RR$, ma tende a zero per $x-> - \infty$ per cui ha un estremo inferiore (zero appunto), ma non un minimo.
... a tangente obliqua.
Questo è un esempio di non derivabilità in un punto. In modo più ampio per vedere dove la funzione non è derivabile vedi anche dove non è definita $f(x) $ e poi dove non è definita $f'(x) $.
Ora vado a lavoro, se non risponde nessuno, cercherò di ricordarmi in pausa pranzo di dirti qualcosa riguardo all'esempio.
"scartus":
f'=0 per trovare max/min relativi ed eventualmente assoluti?
Ammesso che la funzione f di partenza sia derivabile, porre $f'(x) =0$ ti permette di trovare punti di massimo, minimo e flesso a tangente orizzontale.
Basta vedere il comportamento di $f'$ in un intorno di ognuno di questi punti in cui la derivata si annulla: se, per esempio, $f'(x) $ risulta crescente sia a destra che a sinistra del punto in cui si annulla, hai un flesso a tangente orizzontale.
L'esempio pratico in tal senso è $f(x) =x^3$ per $x=0$.
Quando un punto si dice assoluto? Dipende dall'intervallo?(se è limitato vedo quando vale f negli estremi e nei punti trovati?)
È molto difficile, salvo pochi casi (es. c'è un solo punto in cui $f'(x) =0$ nell'intervallo), dedurre che un minimo/massimo sia assoluto solo dalla derivata prima. Quanto dici tra parentesi è in genere la strada da seguire e non solo nel caso di intervalli chiusi e limitati, ma anche di intervalli aperti (come $\RR$) con la differenza che, invece di calcolare direttamente il valore della funzione agli estremi dell'intervallo, nel caso di un aperto fai il limite.
Per esempio, la funzione $f(x) =x^3$ non ha né massimi né minimi in $\RR$ e la funzione $f(x) =e^x$, lo stesso, non ha né massimi né minimi in $\RR$, ma tende a zero per $x-> - \infty$ per cui ha un estremo inferiore (zero appunto), ma non un minimo.
f''=0 per trovare i punti di flesso.
... a tangente obliqua.
Quando e in che punti cerco una non derivabilità? Se mi viene richiesto un esempio specifico faccio i due rapporti incrementali da dx e sx.
Questo è un esempio di non derivabilità in un punto. In modo più ampio per vedere dove la funzione non è derivabile vedi anche dove non è definita $f(x) $ e poi dove non è definita $f'(x) $.
Ora vado a lavoro, se non risponde nessuno, cercherò di ricordarmi in pausa pranzo di dirti qualcosa riguardo all'esempio.
Sto facendo un po di esercizi. Se l'intervallo è chiuso e limitato ed f è continua, per Weierstrass ho minimo e massimo assoluto. Nel caso in cui non è limitato, oltre a valutare la funzione nei punti candidati (che annullano f') faccio il limite agli estremi e vedo che valore esce. Se all'estremo la funzione è +- infinito non ho massimi o minimi assoluti, se invece tende a qualcosa lo confronto con i valori ottenuti sopra. Ci sono piu o meno?
EDIT: leggo altrimenti sulla risoluzione di alcuni esercizi che in caso di una derivata seconda fattibile si possono valutare i punti che annullano la derivata prima nella derivata seconda e sotto determinate caratteristiche posso capire se sono rel o assoluti.
EDIT: leggo altrimenti sulla risoluzione di alcuni esercizi che in caso di una derivata seconda fattibile si possono valutare i punti che annullano la derivata prima nella derivata seconda e sotto determinate caratteristiche posso capire se sono rel o assoluti.
Mi spiace per il tremendo ritardo della risposta, ma gli inconvenienti e gli impegni vengono sempre a grappoli...
Comunque...
Più o meno ci sei e direi anche più "più" che "meno".
Il risultato è corretto ma non capisco quale ragionamento fai sui casi.
In questo caso specifico, inoltre, per il dominio basta vedere dove si annulla il modulo visto che l'argomento del logaritmo - essendo, appunto, un modulo - è non negativo.
Premetto che non ho l'opportunità di verificare i calcoli, ma se sono corretti le conclusioni sono giuste.
Sì, e nel caso di moduli, in generale (non in questo caso perché in $x=4$ non è definita la funzione) è buona cosa fare limite destro e sinistro nei punti dove l'argomento del modulo cambia di segno.
Non c'è una ricetta... posso dirti che se continui a esercitarti e ti applichi poi acquisirai l'esperienza necessaria per capire come agire.
Comunque...
"scartus":
Sto facendo un po di esercizi. Se l'intervallo è chiuso e limitato ed f è continua, per Weierstrass ho minimo e massimo assoluto. Nel caso in cui non è limitato, oltre a valutare la funzione nei punti candidati (che annullano f') faccio il limite agli estremi e vedo che valore esce. Se all'estremo la funzione è +- infinito non ho massimi o minimi assoluti, se invece tende a qualcosa lo confronto con i valori ottenuti sopra. Ci sono piu o meno?
Più o meno ci sei e direi anche più "più" che "meno".
"scartus":
Se ho una funzione es: $ arctg (2-x-ln|4-x|) $ studiando il valore assoluto ho: $ 4-x>0 , x-4>0 $ --> $ x<4 , x>4 $ allora x diverso da 4
Essendo l'arctg valida per valori di x tra $ + - oo $ il dominio è tutto R escluso 4. Confermate?
Il risultato è corretto ma non capisco quale ragionamento fai sui casi.
In questo caso specifico, inoltre, per il dominio basta vedere dove si annulla il modulo visto che l'argomento del logaritmo - essendo, appunto, un modulo - è non negativo.
A questo punto vedo che la derivata prima in entrambi i casi del modulo, si annulla per 3 quindi minimo relativo. Non è minimo assoluto in quanto il dominio è illimitato?
Premetto che non ho l'opportunità di verificare i calcoli, ma se sono corretti le conclusioni sono giuste.
Per quanto riguarda invece il punto di non derivabilità, dove lo cerco? (non era richiesto lo studio della derivata seconda) Devo concentrarmi nei punti che appartengono al dominio della funzione ma non a quello della derivata prima?
Sì, e nel caso di moduli, in generale (non in questo caso perché in $x=4$ non è definita la funzione) è buona cosa fare limite destro e sinistro nei punti dove l'argomento del modulo cambia di segno.
Vorrei capire cosa mi perdo per migliorare nello studio di una funzione. Grazie a tutti e buona serata
Non c'è una ricetta... posso dirti che se continui a esercitarti e ti applichi poi acquisirai l'esperienza necessaria per capire come agire.
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