Studio derivabilità nell'insieme di definizione

[swanrhcp]

Salve. Avendo questa funzione: $ f(x): sqrt((x^2-3x+2)/(x-1)) - sqrt2 $, il cui dominio è $ X: [2, + oo ) $
Calcolo la derivata prima che è uguale a
$ f'(x): 1/(2sqrt((x^2-3x+2)/(x-1))) $

Come faccio ora a studiare la derivabilità di questa funzione nel suo insieme di definizione?
Quando bisogna calcolare la derivabilità in un punto x0 so che si fa il limite destro e sinistro in quel punto di f'(x) e si vede se esce un risultato finito e uguale. Ma nel caso in cui si deve calcolare nell'intero insieme di definizione come si procede? Grazie.

[Camillo]

Certamente la derivata prima della funzione $f(x)$ non è quella che hai scritto.E' ben vero che la derivata di $y=sqrt(x)$ è $y'=1/(2sqrt(x))$ ma nel caso specifico tu hai una funzione composta da derivare....per cui la derivata sarà......
Poi ne riparliamo

[swanrhcp]

"Camillo":Certamente la derivata prima della funzione $f(x)$ non è quella che hai scritto.E' ben vero che la derivata di $y=sqrt(x)$ è $y'=1/(2sqrt(x))$ ma nel caso specifico tu hai una funzione composta da derivare....per cui la derivata sarà......
Poi ne riparliamo

si infatti l'ho derivata, come dici tu, lo so che è una composta però al numeratore tutti i calcoli poi si semplificano...provare per credere

[Gi81]

E il motivo è che $(x^2-3x+2)/(x-1)=((x-2)(x-1))/(x-1)=x-2$

Dunque $f(x) =sqrt(x-2) -sqrt2$ (il dominio è $[2,+oo)$, come scritto da \$w@n)
ora è tutto un po' più semplice, no?

[swanrhcp]

Si per la derivata lo sapevo il motivo, cercavo di spiegarla a Camillo . Comunque il vero problema è questo:

"$w@n":Come faccio ora a studiare la derivabilità di questa funzione nel suo insieme di definizione?
Quando bisogna calcolare la derivabilità in un punto x0 so che si fa il limite destro e sinistro in quel punto di f'(x) e si vede se esce un risultato finito e uguale. Ma nel caso in cui si deve calcolare nell'intero insieme di definizione come si procede? Grazie.

[Gi81]

"\$w@n":Come faccio ora a studiare la derivabilità di questa funzione nel suo insieme di definizione?
Quando bisogna calcolare la derivabilità in un punto $x_0$ so che si fa il limite destro e sinistro in quel punto di f'(x) e si vede se esce un risultato finito e uguale. Ma nel caso in cui si deve calcolare nell'intero insieme di definizione come si procede?

Una funzione è derivabile in un intervallo se la è in ogni suo punto.

Quindi basta che parli a livello generico. Dici : "Prendo un generico $x_0 in [2,+oo)$"
e dimostri che per tale $x_0$ la funzione è derivabile

In ogni caso, direi che hai già finito.
Hai trovato che $f'(x)= 1/(2*sqrt(x-2))$, quindi (tranne che per $x=2$) hai dimostrato che la funzione è derivabile

[swanrhcp]

"Gi8":Una funzione è derivabile in un intervallo se la è in ogni suo punto.

Quindi basta che parli a livello generico. Dici : "Prendo un generico $x_0 in [2,+oo)$"
e dimostri che per tale $x_0$ la funzione è derivabile

In ogni caso, direi che hai già finito.
Hai trovato che $f'(x)= 1/(2*sqrt(x-2))$, quindi (tranne che per $x=2$) hai dimostrato che la funzione è derivabile

Se la derivata prima è definita nel dominio di partenza allora ho già dimostrato che è derivabile. Dato che in questo caso la $ f'(x) $ è definita per $ (2, +oo) - { 2 } $ dovrei fare il limite destro e sinistro in $2$ e vedere quanto esce, se è finito ed è uguale sia a destra che sinistra vuol dire che è derivabile anche in quel punto. E' giusto tutto il ragionamento che ho fatto?!

[Gi81]

Sì, direi di sì

[swanrhcp]

E nel caso una funzione sia definita in un intervallo $ [a,b] - {x0} $ e anche la sua derivata è contenuta nello stesso intervallo, per studiare la derivabilità, lo si fa nel punto x0 escluso dal dominio giusto?

[Gi81]

Giusto. Se non è definita in $x_0$, non ha nemmeno senso chiedersi se è derivabile in $x_0$