Studio derivabilità

[No_Rules1]

Salve a tutti avrei bisogno di un aiuto nello studio della derivabilità di una funzione:

$ arcsin(sqrt(2x - x^2) ) $

I quesiti sono i seguenti:
1) Dire se l'ID di f è limitato
2) Studiare la derivabilità di f nel suo ID
3) Dire se f ammette estremi assoluti e in caso affermativo determinarli

Allora l'ID della funzione mi sembra senza dubbio $[0, 2]$
dunque penso che per tutte le domande sia necessario studiare la monotonia della funzione, quindi innanzitutto calcolare la derivata prima che salvo errori dovrebbe essere
$ -1/(sqrt(2x - x^2) ) $

Ora però vorrei capire una cosa, innanzitutto se finora è tutto giusto, poi come faccio a vedere la derivabilità, devo provare a vedere la derivata in 0 e 2, fare il rapporto incrementale?

Grazie

[Rosaspina1]

Ciao,
scusa se mi permetto di farti un'attimo riflettere sulla derivata prima della funzione.
Secondo me, innanzitutto, dovresti tenere conto che sei di fronte ad un'arcoseno, non ad un'arcocoseno. Ciò significa che perciò la derivata prima sarà (se vedi anche il formulario) positiva, e non negativa come tu l'hai definita.
Dopo di che, vorrei ricordarti che, data la formula della derivata di arcoseno, comprenderai bene che sei davanti ad una funzione di funzione, poichè dovresti derivare anche $2x-x^2.
Ora, prova a proseguire e vedrai cosa ne uscirà.
Buon proseguimento, ciao!

[No_Rules1]

infatti quella derivata è solo un risultato frutto del prodotto fra la derivata dell'arcoseno, della radice e dell'argomento della radice...

[Rosaspina1]

scusa se ti disturbo ancora, ma saresti così gentile da farmi vedere tutti i passaggi che hai fatto, perchè c'è qualcosa che non mi convince nel risultato!
Ti ringrazio, ciao!

[No_Rules1]

$ 1/(sqrt(1 - (sqrt(2x - x^2) )^2) )(1/(2sqrt(2x - x^2) ))(2 - 2x) $

Questo è il calcolo, a quel risultato si arriva mettendo in evidenza $-2$ in $(2 - 2x)$ e semplificando il primo fattore che diventa $1/(x-1)$

[paolotesla91]

consentimi di coreggerti allora: la derivata dell'arcoseno per le regole di derivazione risulta essere uguale a : $1/sqrt(1-x^2)$ dunque la tua derivata dovrà essere calcolata sostituendo ad x tutto l'argomento dell'arcoseno. Riguardo al problema della derivabilità ti consiglierei semplicemente di calcolare il C.E. della derivata che a me risulta esistere in tutto R in quanto ho risolto una disequazione di secondo grado con $Delta>0$ dunque hai due soluzioni coincidenti per cui la tua funzione è derivabile in tutto R naturalmente dovrai restringere il campo di derivabilità in base al tuo C.E. della funzione che io non ho calcolato per il semplice dubbio che siccome le funzioni inverse goiniometriche di sin e cos hanno un dominio compreso tra [-1;1] non so come comportarmi.
Correggetemi se sbaglio!!!

[No_Rules1]

Sinceramente mi sembra di aver sostituito alla x tutto l'argomento dell'arcoseno, poi nn so, se vuoi farmi un esempio di come verrebbe secondo te la derivata...

[paolotesla91]

si la mia derivata è questa :
$f'(x)= -(2+2x)/(sqrt(1-2x+x^2))$ ora il dominio della funzione è ${x in RR : 0

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[No_Rules1]

"paolotesla91":si la mia derivata è questa :
$f'(x)= -(2+2x)/(sqrt(1-2x+x^2))$ ora il dominio della funzione è ${x in RR : 0

Mi ritrovo con il tuo risultato meno che per una cosa, forse hai semplificato qualcosa di troppo perché a me viene moltiplicato a denominatore anche un $(x - 1)$ e non c'è il meno davanti alla frazione.
Cercando le condizioni di esistenza trovo $0
Grazie per l'aiuto.

[paolotesla91]

eheheh di niente Rules solo che adesso non ho capito io cosa intendi XD!!!