Studio dell'esistenza dell'estremo superiore
Salve a tutti,
volevo chiedere una mano riguardo a un problema di carattere teorico di Analisi 1.
E' un esercizio riguardo allo studio dell'esistenza dell'estremo superiore dell'insieme A definito come
$A={ x in QQ | 0 < x, x^2 <2}$
Abbiamo svolto dei procedimenti durante la lezione.
Abbiam trovato che il punto $x=2 in \Gamma_A$ ovvero fa parte dell'insieme dei maggioranti.
Da lì inizia lo studio dell'esistenza dell'estremo superiore $\lambda$
Si è divisa la possibilità di esistenza in 3 casi.
1) $\lambda in QQ, \lambda^2<2$
2) $\lambda in QQ, \lambda^2>2$
3) $\lambda in QQ, \lambda^2=2$
A lezione abbiamo dimostrato per assurdo il caso 3) nel seguente modo.
"Per assurdo supponiamo $\lambda in QQ | \lambda^2 = 2$. $\lambda$ essendo in $QQ$, può essere scritto come $\lambda= \frac{p}{q}$. Essendo $\lambda^2$, dunque $frac{p^2}{q^2}$ con $p,q in NN$ primi tra loro.
Quindi
$\frac{p^2}{q^2}=2$
$p^2=2q^2$
Dunque $p^2$ è un numero pari"
Di questa dimostrazione non ho capito il passaggio finale dove p quadro viene detto come numero pari. Questo dovrebbe indicare che $\lambda^2 = 2$ è l'estremo superiore? Per quale motivo?
Inoltre come esercizio dovrei provare a dimostrare per assurdo i casi 1) e 2).
Ho raggiunto il punto in cui $-\sqrt{2}
Grazie mille in anticipo!
volevo chiedere una mano riguardo a un problema di carattere teorico di Analisi 1.
E' un esercizio riguardo allo studio dell'esistenza dell'estremo superiore dell'insieme A definito come
$A={ x in QQ | 0 < x, x^2 <2}$
Abbiamo svolto dei procedimenti durante la lezione.
Abbiam trovato che il punto $x=2 in \Gamma_A$ ovvero fa parte dell'insieme dei maggioranti.
Da lì inizia lo studio dell'esistenza dell'estremo superiore $\lambda$
Si è divisa la possibilità di esistenza in 3 casi.
1) $\lambda in QQ, \lambda^2<2$
2) $\lambda in QQ, \lambda^2>2$
3) $\lambda in QQ, \lambda^2=2$
A lezione abbiamo dimostrato per assurdo il caso 3) nel seguente modo.
"Per assurdo supponiamo $\lambda in QQ | \lambda^2 = 2$. $\lambda$ essendo in $QQ$, può essere scritto come $\lambda= \frac{p}{q}$. Essendo $\lambda^2$, dunque $frac{p^2}{q^2}$ con $p,q in NN$ primi tra loro.
Quindi
$\frac{p^2}{q^2}=2$
$p^2=2q^2$
Dunque $p^2$ è un numero pari"
Di questa dimostrazione non ho capito il passaggio finale dove p quadro viene detto come numero pari. Questo dovrebbe indicare che $\lambda^2 = 2$ è l'estremo superiore? Per quale motivo?
Inoltre come esercizio dovrei provare a dimostrare per assurdo i casi 1) e 2).
Ho raggiunto il punto in cui $-\sqrt{2}
Grazie mille in anticipo!
Risposte
"giacomod":
"$ p^2=2q^2 $
Dunque $ p^2 $ è un numero pari"
Di questa dimostrazione non ho capito il passaggio finale dove p quadro viene detto come numero pari.
Scusa, cos'è per te un numero pari? Te lo dico io: un numero (intero) divisibile per $2$. Hai dimostrato che $p^2=2q^2$, ergo $p^2$ è un numero pari...
"giacomod":
Questo dovrebbe indicare che $ \lambda^2 = 2 $ è l'estremo superiore?
No. Tu vuoi dimostrare che NON esiste l'estremo superiore dell'insieme $A$. Come lo dimostri? Ragioni per assurdo: supponi che $\lambda=\text{sup} A$ esista e vedi che in questo modo si ottiene una contraddizione.
Se $\lamda $ esistesse, i casi possibili sarebbero tre (quelli che hai riportato tu). Sopra hai dimostrato che l'eventualità (3) è da escludere, dunque $\lambda^2 \ne 2$.
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