Studio dell'esattezza di una forma differenziale definita in insieme non stellato

[emanuele.torrisi]

Ciao, stavo svolgendo questo esercizio:
Data la forma differenziale: $omega=(x-1)/((1-x)^2+y^6)dx\ +\ (3y^5)/((1-x)^2+y^6)$ calcolare $int_V omega$ essendo $V$ la curva che ha per sostegno l'arco di circonferenza $x^2+y^2-2x=0$ che ha per estremi $(0,0)$ e $(2,0)$ percorso nel verso antiorario.

Nello svolgere l'esercizio ho disegnato la mia circonferenza, cioè la circonferenza di centro 1 e raggio 1, l'ho pure parametrizzata ecc..
Ora il problema che sorge è che: calcolando le derivate "incrociate" della forma differenziale queste risultano uguali, dunque concludo che la forma differenziale è chiusa, ma, subito dopo, calcolando il dominio della mia forma differenziale ottengo: $Dom(omega)=E= (x,y)\in\R^2-{(1,0)}$
Benissimo, posso subito concludere che il mio dominio non è un'insieme stellato, dunque sapere che la forma differenziale è chiusa mi serve ben poco per capire se è anche esatta.
Mi servirebbe un suggerimento su come dimostrare che la forma differenziale è esatta; mi rimane infatti da applicare un teorema che mi dice che se calcolo l'integrale circolare di $omega$ e questo integrale risulta $0$ allora $omega$ è esatta, oppure ancora, se prendo due curve aventi stesso punto iniziale e finale, se gli integrali di $omega$ lungo queste due curve sono uguali $omega$ è esatta.
Ho provato a parametrizzare mezzo quadrato ma escono qualcosa come 6 integrali alcuni dei quali molto difficili da risolvere, che faccio?
Grazie in anticipo!

[Reyzet]

Cerca esplicitamente una primitiva.
Per esempio hai $U_{y}=3y^5/((1-x)^2+y^6)$ integrando in dy hai $U(x,y)=log((1-x)^2+y^6)/2+k(x)$.
Rideriva rispetto a x e eguaglia al primo pezzo della fdl.

[dissonance]

Io dico una cosa che forse potrebbe fare confondere, nel qual caso si può tranquillamente ignorare. Cambiando variabili
\[
X=x-1, \qquad Y=y^3, \]
cosicché
\[
dX=dx, \qquad dY=3y^2dy, \]
e in particolare \(3y^5dy=YdY\), la forma differenziale diventa
\[
\frac{1}{X^2+Y^2}\left( X dX+ YdY\right).\]
Mi sembra che sia più semplice da studiare.

[emanuele.torrisi]

Ciao ragazzi, ci tengo a ringraziarvi per la disponibilità nel risolvere i miei dubbi, comunque il procedimento che ho seguito per risolvere l'esercizio proposto è quello di calcolarmi una primitiva della funzione per poter affermare che la forma differenziale è esatta, dunque non ho usato il teorema cui avevo accennato nel primo post.

Per definizione, se esiste una funzione $U$ tale che $dU=omega$ allora la forma differenziale $omega$ si dice esatta ed $U$ è la funzione potenziale.

Dopo aver verificato che la mia forma differenziale è chiusa:

$(dF_1)/(dy)=(dF_2)/(dx)=(-6xy^5+6y^5)/([(1-x)^2+y^6]^2)$

procedo calcolando la funzione potenziale

$U=int(x-1)/((1-x)^2+y^6)dx + g(y) = 1/2 ln|(1-x)^2+y^6|+g(y)$

procedo derivando rispetto a y l'espressione sopra e la pongo uguale a $F_2$

$d/dy(1/2 ln|(1-x)^2+y^6|+g(y)) = F_2 = (3y^5)/((1-x)^2+y^6)\ rArr 1/2 1/((1-x)^2+y^6) 6y^5 + g'(y) = (3y^5)/((1-x)^2+y^6)$

che mi da come risultato

$g'(y)=0 hArr g(y)=k$

posso quindi concludere che

$U=1/2 ln|(1-x)^2+y^6| + k$

benissimo, a questo punto ho trovato la mia funzione potenziale, per verifica io ho calcolato pure $d/dx(U)$ e $d/dy(U)$ e risultano rispettivamente $F_1$ e $F_2$, ciò dovrebbe verificare la bontà della mia funzione potenziale.
Per definizione posso affermare che la forma differenziale data è esatta, e posso applicare il seguente

Lemma

Sia $omega$ esatta in E con funzione potenziale U. Sia $V$ una curva regolare, contenuta in E, di equazione $r=r(t)$, $tin[a,b]$. Allora:

$int_V omega= U(r(b)) - U(r(a))$

la circonferenza che mi dava il testo si parametrizza in

$r(t)={ ( x(t)=1+cost ),( y(t)=sint ):}$ con $tin[0,pi]$

quindi svolgendo i vari calcoli ottengo

$int_V omega=0$