Studio delle singolarità di una funzione
Ciao a tutti, volevo chiedervi se secondo voi ho risolto bene questo esercizio.
Classificare le singolarità della seguente funzione:
$f(z)=(1-cos(2z))/(z^4sin(1/(z+1)))$
Io ho sviluppato con McLaurin il seno:
$sin(1/(z+1))=sum_(k=0)^(+oo)(-1)^k1/((z+1)^(2k+1)(2k+1)!)$
Sostituendo, ottengo:
$f(z) = sum_(k=0)^(+oo)(-1)^k((z+1)^(2k+1)(2k+1)!)(1-cos(2z))/z^4$
Quindi l'unica singolarità da studiare è quella in $z=0$.
Ho provato a fare
$lim_(z->0)f(z)=lim_(z->0)sum_(k=0)^(+oo)phi(z,k)(1-cos(2z))/z^4$
con $phi(z,k) = (-1)^k((z+1)^(2k+1)(2k+1)!)$
Allora:
$lim_(z->0)phi(z,k) = alpha < oo$
Mentre per fare
$lim_(z->0)(1-cos(2z))/z^4$
ho applicato de l'Hopital. Posso farlo in quanto numeratore e denominatore sono funzione olomorfa la prima e meromorfa la seconda (ho trovato questa cosa su una discussione nel forum)
$lim_(z->0)(1-cos(2z))/z^4 = lim_(z->0)2sin(2z)/4z^3 = lim_(z->0)sin(2z)/(2z)1/z^2 = +oo$
In pratica $z=0$ mi viene un polo
Grazie a tutti!
Classificare le singolarità della seguente funzione:
$f(z)=(1-cos(2z))/(z^4sin(1/(z+1)))$
Io ho sviluppato con McLaurin il seno:
$sin(1/(z+1))=sum_(k=0)^(+oo)(-1)^k1/((z+1)^(2k+1)(2k+1)!)$
Sostituendo, ottengo:
$f(z) = sum_(k=0)^(+oo)(-1)^k((z+1)^(2k+1)(2k+1)!)(1-cos(2z))/z^4$
Quindi l'unica singolarità da studiare è quella in $z=0$.
Ho provato a fare
$lim_(z->0)f(z)=lim_(z->0)sum_(k=0)^(+oo)phi(z,k)(1-cos(2z))/z^4$
con $phi(z,k) = (-1)^k((z+1)^(2k+1)(2k+1)!)$
Allora:
$lim_(z->0)phi(z,k) = alpha < oo$
Mentre per fare
$lim_(z->0)(1-cos(2z))/z^4$
ho applicato de l'Hopital. Posso farlo in quanto numeratore e denominatore sono funzione olomorfa la prima e meromorfa la seconda (ho trovato questa cosa su una discussione nel forum)
$lim_(z->0)(1-cos(2z))/z^4 = lim_(z->0)2sin(2z)/4z^3 = lim_(z->0)sin(2z)/(2z)1/z^2 = +oo$
In pratica $z=0$ mi viene un polo
Grazie a tutti!
Risposte
"Uomosenzasonno":
$f(z)=(1-cos(2z))/(z^4sin(1/(z+1)))$
Chiaramente, puoi ancora trattare $[z=0]$ come in studio-delle-singolarita-pochi-giorni-all-esame-t87646.html. Inoltre, ti faccio notare che dovresti discutere anche $[z=-1]$ e $[z=-1+1/(npi)]$ con $[n!=0]$. Per esempio:
$lim_(z->-1+1/(npi))(z+1-1/(npi))(1-cos(2z))/(z^4sin(1/(z+1)))=$
$=(1-cos(-2+2/(npi)))/(-1+1/(npi))^4lim_(z->-1+1/(npi))(z+1-1/(npi))/(sin(1/(z+1)))=$
$=(1-cos(-2+2/(npi)))/(-1+1/(npi))^4lim_(w->0)((-w)/(npi(w+npi)))/(sin(w+npi))=$
$=(1-cos(-2+2/(npi)))/(-1+1/(npi))^4*1/(n^2pi^2)lim_(w->0)(-w)/(+-sinw)=$
$=(1-cos(-2+2/(npi)))/(-1+1/(npi))^4(+-1)/(n^2pi^2)$
Quindi, $[z=-1+1/(npi)]$ con $[n!=0]$ risulta un polo del primo ordine.
Una domanda:
Inoltre, ti faccio notare che dovresti discutere anche $[z=-1]$ e $[z=-1+1/(npi)]$ con $[n!=0]$.[/quote]
Sbaglio o $z=-1$ non è una singolarità isolata? In effetti, la $f$ non è definita in $z=-1$ ma non è olomorfa in nessun intorno bucato di $z=-1$, visto che i poli $w_n=-1+1/(npi)$ si accumulano in $-1$.
Dunque, non essendo isolata, la singolarità presente in $z=-1$ esula dalla classificazione che solitamente si fa (eliminabili, poli, essenziali): dico bene?
"speculor":
[quote="Uomosenzasonno"]
$f(z)=(1-cos(2z))/(z^4sin(1/(z+1)))$
Inoltre, ti faccio notare che dovresti discutere anche $[z=-1]$ e $[z=-1+1/(npi)]$ con $[n!=0]$.[/quote]
Sbaglio o $z=-1$ non è una singolarità isolata? In effetti, la $f$ non è definita in $z=-1$ ma non è olomorfa in nessun intorno bucato di $z=-1$, visto che i poli $w_n=-1+1/(npi)$ si accumulano in $-1$.
Dunque, non essendo isolata, la singolarità presente in $z=-1$ esula dalla classificazione che solitamente si fa (eliminabili, poli, essenziali): dico bene?
"Paolo90":
Sbaglio o $z=-1$ non è una singolarità isolata? In effetti, la $f$ non è definita in $z=-1$ ma non è olomorfa in nessun intorno bucato di $z=-1$, visto che i poli $w_n=-1+1/(npi)$ si accumulano in $-1$.
Dunque, non essendo isolata, la singolarità presente in $z=-1$ esula dalla classificazione che solitamente si fa (eliminabili, poli, essenziali): dico bene?
Certo che dici bene. Veramente, non mi ero accorto della presenza di una singolarità non isolata. A questo punto, l'esercizio può considerarsi completato. Grazie per il tuo prezioso intervento.
Figurati, grazie a te per i tuoi interventi sempre illuminanti. Tra l'altro, ero in dubbio se postare o meno, pensavo avessi tralasciato la discussione apposta perché la facesse Uomosenzasonno...
Ancora grazie mille
"Paolo90":
Tra l'altro, ero in dubbio se postare o meno, pensavo avessi tralasciato la discussione apposta perché la facesse Uomosenzasonno...
Magari. Mi ero ripromesso di tornarci sopra domani. E chissà se e quando me ne sarei accorto. Hai evitato che tentassi un'impossibile "quadratura del cerchio".
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