Studio delle curve di livello
Ho un po' di difficoltà a sviluppare un metodo STANDARD per risolvere questo tipo di problemi. In particolare quando si tratta di determinare la quota K affinché la curva di livello di K sia l'insieme nullo. Nella risoluzione di questo problema il mio approccio è scrivere la funzione esplicitata su y o su x e osservare le condizioni di esistenza di K dall'inizio alla fine. Tuttavia questo approccio non mi convince in certi casi, ad esempio:
f(x,y)=(x^2+3y^2-1)/(x^2+y^2+1)
Sostituendo K a f(x,y) ed esplicitando su y, diventa: y=(+\-)radice[(kx^2+k-x^2+1)/(3-k)]
Una condizione è k diverso da 3, inoltre devo fare in modo che la parte sotto radice sia positiva ma non è facile essendoci K ed x.
Dunque, qual è il metodo standard per risolvere certi esercizi? Come risolvereste voi questo esercizio?
f(x,y)=(x^2+3y^2-1)/(x^2+y^2+1)
Sostituendo K a f(x,y) ed esplicitando su y, diventa: y=(+\-)radice[(kx^2+k-x^2+1)/(3-k)]
Una condizione è k diverso da 3, inoltre devo fare in modo che la parte sotto radice sia positiva ma non è facile essendoci K ed x.
Dunque, qual è il metodo standard per risolvere certi esercizi? Come risolvereste voi questo esercizio?
Risposte
partiamo dalla definizione di curva di livello
posto $f(x,y)=c$ ,si ottiene
$(c-1)x^2+(c-3)y^2+c+1=0$
ora,con un po' di geometria analitica,determina le $c$ per le quali l'equazione rappresenta una conica reale
posto $f(x,y)=c$ ,si ottiene
$(c-1)x^2+(c-3)y^2+c+1=0$
ora,con un po' di geometria analitica,determina le $c$ per le quali l'equazione rappresenta una conica reale
Grazie per la risposta.
In questo esercizio utilizzare la geometria analitica era l'unico modo (entro certi limiti) per risolverlo?
In ogni caso, non essendo certamente un mago in questa materia (non ricordo neppure lo schema degli invarianti ecc... per determinare le varie coniche), mi chiedevo se il mio metodo fosse corretto: ho visto i casi di coniche immaginarie quindi ho prima imposto determinante uguale a 0 e ottengo c=1, c=3, c=-1, poi (c-1)(c-3)>0 per imporre I2>0 e ricavo c<1 V c>3. Dunque per invariante3 = 0 va sempre bene e quindi l'equazione non può rappresentare due coppie di rette immaginarie coniugate, per ogni c.
Poi vedo il caso di ellisse immaginaria, impongo I2>0 e I1I3>0 e alla fine ottengo che l'equazione rappresenta una conica reale per c compreso tra -1 e 3(compreso), che è il risultato esatto. Questa procedura è corretta?
Grazie per l'eventuale risposta.
In questo esercizio utilizzare la geometria analitica era l'unico modo (entro certi limiti) per risolverlo?
In ogni caso, non essendo certamente un mago in questa materia (non ricordo neppure lo schema degli invarianti ecc... per determinare le varie coniche), mi chiedevo se il mio metodo fosse corretto: ho visto i casi di coniche immaginarie quindi ho prima imposto determinante uguale a 0 e ottengo c=1, c=3, c=-1, poi (c-1)(c-3)>0 per imporre I2>0 e ricavo c<1 V c>3. Dunque per invariante3 = 0 va sempre bene e quindi l'equazione non può rappresentare due coppie di rette immaginarie coniugate, per ogni c.
Poi vedo il caso di ellisse immaginaria, impongo I2>0 e I1I3>0 e alla fine ottengo che l'equazione rappresenta una conica reale per c compreso tra -1 e 3(compreso), che è il risultato esatto. Questa procedura è corretta?
Grazie per l'eventuale risposta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo