Studio della serie

[passot]

Ho la serie:

$\sum_{n=1}^infty((2+sin(n))/4)^n$

e voglio sapere se è convergente. Il criterio che mi è venuto naturale utilizzare è stato quello della radice, cioè:

limite per n tendente ad infinito di:

$root(n)(((2+sin(n))/4)^n)$.

Facendo i facilissimi passaggi ottengo: (2+sin(n))/4

per cui considerando che il seno per n tendente all'infinito può oscillare tra -1 ed 1, il valore della precedente espressione potrà essere compreso tra 1/4 e 3/4, quindi un valore certamente positivo ed inferiore ad 1, per cui posso affermare che la serie è convergente.

La prof non mi ha valutato l'esercizio all'esame dicendomi che avrei dovuto risolverlo con una serie maggiorante convergente.
Qualcuno mi può suggerire una serie maggiorante per la serie data?
Grazie

[gugo82]

Beh, il lavoro grosso l'hai fatto... Fare quello che ti ha chiesto il professore è facile.
Infatti, visto che hai già detto che $(2+sin n)/4 <=3/4$, che puoi dire di $((2+sin n)/4)^n$?:-D

[regim]

Il fatto é che il criterio della radice non dice di studiare il limite, ma il limite superiore, chiaro che se esiste il limite allora il limite superiore coincide necessariamente con lui, ma se non esiste come in questo caso, non é importante per il criterio della radice ne per quello del rapporto. Il criterio del confronto suggerito dalla tua prof é certamente utitlizzabile, ma in questo caso direi che hai fatto bene tu, quello che viene naturalissimo direi é quello della radice... per tornare alla risposta, é certamente convergente.