Studio della monotonia di una successione
dimostrare che la successione[tex]\frac{3n^2-1}{n+3}[/tex] è decrescente.
Da quello che ho visto nella teoria dovrei fare [tex]a_n \le a_{n+1}[/tex] , quindi [tex]\frac{3n^2-1}{n+3} \le \frac{3(n+1)^2-1}{(n+1)+3}[/tex] ovvero [tex]\frac{3n^2-1}{n+3} - \frac{3(n+1)^2-1}{(n+1)+3} \le 0[/tex]
ma poi cosa dovrei fare?
Dovrei fare minimo comune multiplo e poi calcolarmi l'equazione di 2grado che mi verrebbe a nominatore?
Da quello che ho visto nella teoria dovrei fare [tex]a_n \le a_{n+1}[/tex] , quindi [tex]\frac{3n^2-1}{n+3} \le \frac{3(n+1)^2-1}{(n+1)+3}[/tex] ovvero [tex]\frac{3n^2-1}{n+3} - \frac{3(n+1)^2-1}{(n+1)+3} \le 0[/tex]
ma poi cosa dovrei fare?
Dovrei fare minimo comune multiplo e poi calcolarmi l'equazione di 2grado che mi verrebbe a nominatore?
Risposte
Grazie TeM. Le derivate ancora non le abbiamo affrontate nel corso per questo non le ho nominate nella possibile soluzione che ho scritto.
Scusami TeM ma non capisco come fa a venire \(\displaystyle n > -1 \)
Provo a postare i passaggi che ho fatto:
Ripartendo da dove hai lasciato tu, faccio
$ (3n^2-1)(n+4) \le (3n^2+3+6n-1)(n+3) $
$ (3n^3+12n^2-n-4) \le (3n^2+6n+2)(n+3) $
$ 3n^3+12n^2-n-4 \le 3n^3+9n^2+6n^2+18n+2n+6 $
$ -3n^2-21n-10 \le 0 $
$ 3n^2+21n+10 \ge 0 $
ma questa non ha soluzioni $ n \ge -1 $
Provo a postare i passaggi che ho fatto:
Ripartendo da dove hai lasciato tu, faccio
$ (3n^2-1)(n+4) \le (3n^2+3+6n-1)(n+3) $
$ (3n^3+12n^2-n-4) \le (3n^2+6n+2)(n+3) $
$ 3n^3+12n^2-n-4 \le 3n^3+9n^2+6n^2+18n+2n+6 $
$ -3n^2-21n-10 \le 0 $
$ 3n^2+21n+10 \ge 0 $
ma questa non ha soluzioni $ n \ge -1 $
Non vorrei dire una fesseria, nel qual caso ringrazio chi mi correggesse, ma sei sicuro di non dover dimostrare che è crescente ?
TeM, scusami ma ancora non capisco quel $ n \ge -1 $
Comunque le soluzioni di quell'equazione di secondo grado sono, almeno penso,
$ x\le \frac{-21+\sqrt{321}}{6} \cup x \ge\frac{-21-\sqrt{321}}{6} $
Quindi dovrei prendermi solo la soluzione $ x \ge\frac{-21+\sqrt{321}}{6} $ e la successione è crescente da quel valore fino a $+\infty$?
Comunque le soluzioni di quell'equazione di secondo grado sono, almeno penso,
$ x\le \frac{-21+\sqrt{321}}{6} \cup x \ge\frac{-21-\sqrt{321}}{6} $
Quindi dovrei prendermi solo la soluzione $ x \ge\frac{-21+\sqrt{321}}{6} $ e la successione è crescente da quel valore fino a $+\infty$?
In effetti \(\displaystyle n > -1 \) è vera $AA n in NN$ quindi non serve neanche mettersi il problema..
"bugger":
...dovrei prendermi solo la soluzione $ x \ge\frac{-21+\sqrt{321}}{6} $ e la successione è crescente da quel valore fino a $+\infty$?
Considerando che quel valore è negativo è vera $forall n in NN$.
Ragazzi, sto facendo parecchia confusione.
Mi potete spiegare tutto l'esercizio, dalla dimostrazione che è crescente fino a trovare estremo superiore e inferiore?
Io ho provato a svolgerlo su carta e mi viene che l'estremo inferiore è $\frac{-21+\sqrt{321}}{6}$ mentre l'estremo superiore è $+\infty$ che mi viene dato dal limite della successione per $n->\infty$.
Ho provato a vedere anche i vari punti su derive e in effetti sembra darmi ragione.
Ma aspetto i vostri chiarimenti che saranno sicuramente piu precisi.
Grazie ancora.
Mi potete spiegare tutto l'esercizio, dalla dimostrazione che è crescente fino a trovare estremo superiore e inferiore?
Io ho provato a svolgerlo su carta e mi viene che l'estremo inferiore è $\frac{-21+\sqrt{321}}{6}$ mentre l'estremo superiore è $+\infty$ che mi viene dato dal limite della successione per $n->\infty$.
Ho provato a vedere anche i vari punti su derive e in effetti sembra darmi ragione.
Ma aspetto i vostri chiarimenti che saranno sicuramente piu precisi.
Grazie ancora.
è un po' più chiaro ma il problema è che i limiti per ora si sono fatti solo per $n->\infty$ ...
Ma ci sarebbe anche il modo di dimostrare il tutto tramite definizioni?
Cioè dimostrare tramite definizione che la successione è crescente dimostrare tramite definizione l'estremo superiore e l'estremo inferiore?
EDIT: Continuo a ripetere che dal grafico io vedo sempre $\frac{-21+\sqrt{21}}{6}$ come estremo inf...
Ma ci sarebbe anche il modo di dimostrare il tutto tramite definizioni?
Cioè dimostrare tramite definizione che la successione è crescente dimostrare tramite definizione l'estremo superiore e l'estremo inferiore?
EDIT: Continuo a ripetere che dal grafico io vedo sempre $\frac{-21+\sqrt{21}}{6}$ come estremo inf...
Fidati che il libro l'ho aperto ho solo chiesto se si poteva non ho chiesto come si fa.
ok, ho capito tutto e ti ringrazio tantissimo 
. L'unica cosa che non mi torna è l'estremo inferiore, perchè il limite che va a 1 da destra ancora non li abbiamo visti.
. L'unica cosa che non mi torna è l'estremo inferiore, perchè il limite che va a 1 da destra ancora non li abbiamo visti.
Grazie mille davvero e scusa se ti ho fatto alterare 
"TeM":
\(\inf_{n\in[1,+\infty)} \{a_n\} =\)$\lim_{n\to\1^+}$\( \frac{3n^2-1}{n+3} = \frac{1}{2} \).
Scusa però non si può calcolare il limite per $n->n_0$ in una successione, in quanto l'unico punto di accumulazione nei numeri naturali è $+oo$
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