Studio della monotonia
$y=xlog(1+(1/x))$
$y'=log(1+(1/x))-1/(x+1)$
$log(1+(1/x))-1/(x+1)>0$
$log(1+(1/x))>0$ per ogni x appartenete ad R
è corretto?
$y'=log(1+(1/x))-1/(x+1)$
$log(1+(1/x))-1/(x+1)>0$
$log(1+(1/x))>0$ per ogni x appartenete ad R
è corretto?
Risposte
Occhio, la derivata di $log(1+1/x)$ non è quella che hai scritto
"Gi8":
Occhio, la derivata di $log(1+1/x)$ non è quella che hai scritto
perchè non è?? la derivata di $log(1+(1/x))$ è $=-1/(x^2+x)$
Sì, hai ragione tu. Perdonami per l'errore.
Però non capisco perchè all'ultima riga hai scritto che $log(1+1/x)>0$ per ogni $x$ reale.
Il resto è corretto.
PS: hai trovato l'insieme di esistenza della funzione?
Però non capisco perchè all'ultima riga hai scritto che $log(1+1/x)>0$ per ogni $x$ reale.
Il resto è corretto.
PS: hai trovato l'insieme di esistenza della funzione?
La funzione da analizzare è \[y=x \cdot \log\left(1+\frac{1}{x} \right)\]
Campo di esistenza: $1+1/x >0 <=> (x+1)/x >0 <=> x< -1 vv x>0$
Come hai scritto tu, \[y' = \log\left( 1+\frac{1}{x}\right) -\frac{1}{x+1}\]
Quando accade che $log(1+1/x)-1/(x+1)>0$? Vediamo:
La derivata della funzione $g(x)= log(1+1/x)-1/(x+1)$ è $-1/(x*(x+1)^2)$
Quindi $g'(x)>0 <=> x< -1$ e $g'(x)<0 <=> x>0$
Inoltre $lim_{x->0^+} g(x)= +oo$, $lim_{x->+oo} g(x)=0^+$. Questo ci dice che $g(x)>0$ per ogni $x in (0,+oo)$
Infine, $lim_{x-> -1^-} g(x)= +oo$, $lim_{x->-oo} g(x)=0^+$. Questo ci dice che $g(x)>0$ anche per tutti gli $x in (-oo, -1)$.
RIassumendo, con un po' di fatica abbiamo dimostrato che per ogni $x$ appartenente al campo di esistenza si ha $y'>0$
Campo di esistenza: $1+1/x >0 <=> (x+1)/x >0 <=> x< -1 vv x>0$
Come hai scritto tu, \[y' = \log\left( 1+\frac{1}{x}\right) -\frac{1}{x+1}\]
Quando accade che $log(1+1/x)-1/(x+1)>0$? Vediamo:
La derivata della funzione $g(x)= log(1+1/x)-1/(x+1)$ è $-1/(x*(x+1)^2)$
Quindi $g'(x)>0 <=> x< -1$ e $g'(x)<0 <=> x>0$
Inoltre $lim_{x->0^+} g(x)= +oo$, $lim_{x->+oo} g(x)=0^+$. Questo ci dice che $g(x)>0$ per ogni $x in (0,+oo)$
Infine, $lim_{x-> -1^-} g(x)= +oo$, $lim_{x->-oo} g(x)=0^+$. Questo ci dice che $g(x)>0$ anche per tutti gli $x in (-oo, -1)$.
RIassumendo, con un po' di fatica abbiamo dimostrato che per ogni $x$ appartenente al campo di esistenza si ha $y'>0$
Gi8:
La funzione da analizzare è \[y=x \cdot \log\left(1+\frac{1}{x} \right)\]
Campo di esistenza: $1+1/x >0 <=> (x+1)/x >0 <=> x< -1 vv x>0$
Come hai scritto tu, \[y' = \log\left( 1+\frac{1}{x}\right) -\frac{1}{x+1}\]
Quando accade che $log(1+1/x)-1/(x+1)>0$? Vediamo:
La derivata della funzione $g(x)= log(1+1/x)-1/(x+1)$ è $-1/(x*(x+1)^2)$
Quindi $g'(x)>0 <=> x< -1$ e $g'(x)<0 <=> x>0$
Inoltre $lim_{x->0^+} g(x)= +oo$, $lim_{x->+oo} g(x)=0^+$. Questo ci dice che $g(x)>0$ per ogni $x in (0,+oo)$
Infine, $lim_{x-> -1^-} g(x)= +oo$, $lim_{x->-oo} g(x)=0^+$. Questo ci dice che $g(x)>0$ anche per tutti gli $x in (-oo, -1)$.
RIassumendo, con un po' di fatica abbiamo dimostrato che per ogni $x$ appartenente al campo di esistenza si ha $y'>0$
come mai hai dimostrato che $y'>0$ attraverso la derivata seconda? e nn direttamente dalla derivata prima?
@scarsetto: Non mi sembra così immediato dimostrare che $log(1+1/x) -1/(x+1)>0$ facendo calcoli "elementari".
Ovviamente sono disposto a cambiare idea
Se tu ci sei riuscito, potresti mostrarmi i passaggi?
PS: il tuo post è veramente poco leggibile
Ovviamente sono disposto a cambiare idea
Se tu ci sei riuscito, potresti mostrarmi i passaggi?
PS: il tuo post è veramente poco leggibile
Gi8:
@scarsetto: Non mi sembra così immediato dimostrare che $log(1+1/x) -1/(x+1)>0$ facendo calcoli "elementari".
Ovviamente sono disposto a cambiare idea
Se tu ci sei riuscito, potresti mostrarmi i passaggi?
PS: il tuo post è veramente poco leggibile
no io nn ci sono riuscito vorrei capire come faccio a dimostrarlo attraverso la derivate seconda....mi scuso se era poco leggibile
"Gi8":
La funzione da analizzare è \[y=x \cdot \log\left(1+\frac{1}{x} \right)\]
Campo di esistenza: $1+1/x >0 <=> (x+1)/x >0 <=> x< -1 vv x>0$
Come hai scritto tu, \[y' = \log\left( 1+\frac{1}{x}\right) -\frac{1}{x+1}\]
Quando accade che $log(1+1/x)-1/(x+1)>0$? Vediamo:
La derivata della funzione $g(x)= log(1+1/x)-1/(x+1)$ è $-1/(x*(x+1)^2)$
Quindi $g'(x)>0 <=> x< -1$ e $g'(x)<0 <=> x>0$
Inoltre $lim_{x->0^+} g(x)= +oo$, $lim_{x->+oo} g(x)=0^+$. Questo ci dice che $g(x)>0$ per ogni $x in (0,+oo)$
Infine, $lim_{x-> -1^-} g(x)= +oo$, $lim_{x->-oo} g(x)=0^+$. Questo ci dice che $g(x)>0$ anche per tutti gli $x in (-oo, -1)$.
RIassumendo, con un po' di fatica abbiamo dimostrato che per ogni $x$ appartenente al campo di esistenza si ha $y'>0$
come fa ad uscire che $g'(x)>0 <=> x< -1$ e $g'(x)<0 <=> x>0$ non mi ritrovo proprio
A te cosa viene?
"Gi8":
A te cosa viene?
mettendo $g'>0$ non ci sono soluzioni
invece mettendo $g'<0$ per ogni $x < -1$
$-1/(x*(x+1)^2)>0$ è equivalente a $1/x<0$ (ricordo che il dominio è $x< -1 vv x>0$)
"Gi8":
$-1/(x*(x+1)^2)>0$ è equivalente a $1/x<0$ (ricordo che il dominio è $x< -1 vv x>0$)
questo l'ho capito però se studio $g'<0$ non mi ritrovo perchè mi esce ciò che ti ho scritto prima
$-1/(x*(x+1)^2)<0$ è equivalente a $1/x>0$
"Gi8":
La funzione da analizzare è \[y=x \cdot \log\left(1+\frac{1}{x} \right)\]
Campo di esistenza: $1+1/x >0 <=> (x+1)/x >0 <=> x< -1 vv x>0$
Come hai scritto tu, \[y' = \log\left( 1+\frac{1}{x}\right) -\frac{1}{x+1}\]
Quando accade che $log(1+1/x)-1/(x+1)>0$? Vediamo:
La derivata della funzione $g(x)= log(1+1/x)-1/(x+1)$ è $-1/(x*(x+1)^2)$
Quindi $g'(x)>0 <=> x< -1$ e $g'(x)<0 <=> x>0$
Inoltre $lim_{x->0^+} g(x)= +oo$, $lim_{x->+oo} g(x)=0^+$. Questo ci dice che $g(x)>0$ per ogni $x in (0,+oo)$
Infine, $lim_{x-> -1^-} g(x)= +oo$, $lim_{x->-oo} g(x)=0^+$. Questo ci dice che $g(x)>0$ anche per tutti gli $x in (-oo, -1)$.
RIassumendo, con un po' di fatica abbiamo dimostrato che per ogni $x$ appartenente al campo di esistenza si ha $y'>0$
$lim_{x->0^+} g(x)= +oo$ forse hai sbagliato perchè esce $-oo$ e questo va a cambiare dove è crescente o decrescente
Non ho sbagliato: $g(x)= log(1+1/x) -1/(x+1)$
$lim_{x->0^+} g(x) = lim_{x->0^+} [log(1+1/x) -1/(x+1)]$
$lim_{x->0^+} g(x) = lim_{x->0^+} [log(1+1/x) -1/(x+1)]$
- [*:316rrggk]l'argomento del logaritmo tende a $+oo$, dunque il logaritmo stesso tende a $+oo$. [/*:m:316rrggk]
[*:316rrggk]$-1/(x+1)$ tende a $-1$ [/*:m:316rrggk][/list:u:316rrggk]
Quindi il limite è $+oo$
"Gi8":
Non ho sbagliato: $g(x)= log(1+1/x) -1/(x+1)$
$lim_{x->0^+} g(x) = lim_{x->0^+} [log(1+1/x) -1/(x+1)]$
[*:jhis46t5]l'argomento del logaritmo tende a $+oo$, dunque il logaritmo stesso tende a $+oo$. [/*:m:jhis46t5]
[*:jhis46t5]$-1/(x+1)$ tende a $-1$ [/*:m:jhis46t5][/list:u:jhis46t5]
Quindi il limite è $+oo$
GIUSTO AVEVO CAPITO CHE SI FACESSE IL LIMITE DELLA DERIVATA SECONDA però non capisco perchè hai detto che dal segno della derivata seconda posso risalire al segno della derivata prima quando basta fare il limite della derivata prima. quindi fare la derivata seconda per capire il segno della derivata prima non serve?
Diciamo così: io ho fatto uno studio della funzione \[g(x) = \log\left( 1+\frac{1}{x}\right) -\frac{1}{x+1}\]
con l'intento di provare che $g(x)>0$ per ogni \(\displaystyle x \in ( -\infty, -1) \cup (0, +\infty) \). Perchè faccio questo?
Perchè, dato che la mia $g(x)$ coincide con la derivata prima della funzione di cui devo studiare la monotonia, avrò che $y'>0$ per ogni \(\displaystyle x \in ( -\infty, -1) \cup (0, +\infty) \), dunque la funzione $y= x*log(1+1/x)$ è strettamente crescente su tutto il suo dominio.
Per fare lo studio della funzione $g(x)$ è necessario utilizzare anche la derivata di $g$ (che altro non è che $y''$). Senza la derivata di $g$ non riuscirei a fare le considerazioni che mi servono.
Quindi, in soldoni, è necessario arrivare a $y''$ per capire il segno di $y'$.
Spero di essere stato chiaro
con l'intento di provare che $g(x)>0$ per ogni \(\displaystyle x \in ( -\infty, -1) \cup (0, +\infty) \). Perchè faccio questo?
Perchè, dato che la mia $g(x)$ coincide con la derivata prima della funzione di cui devo studiare la monotonia, avrò che $y'>0$ per ogni \(\displaystyle x \in ( -\infty, -1) \cup (0, +\infty) \), dunque la funzione $y= x*log(1+1/x)$ è strettamente crescente su tutto il suo dominio.
Per fare lo studio della funzione $g(x)$ è necessario utilizzare anche la derivata di $g$ (che altro non è che $y''$). Senza la derivata di $g$ non riuscirei a fare le considerazioni che mi servono.
Quindi, in soldoni, è necessario arrivare a $y''$ per capire il segno di $y'$.
Spero di essere stato chiaro
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