Studio della monotonia

[nikel93]

$ f(x) = arc ctg [log_(1/2)(e^(2x)-2e^x+2)]^5 $
$ f'(x) = (-[5log_(1/2)(e^(2x)-2e^x+2)]^4(2e^(2x)-2e^x))/((1+(log_(1/2)(e^(2x)-2e^x+2))^10)ln(1/2)*(e^(2x)-2e^x+2) $

Ammesso che la derivata prima sia corretta, non riesco a studiarne la monotonia.
Ovvero tutto il numeratore dovrebbe risultare maggiore di 0 MAI $ AA $ x $ in $ X (insieme di definizione di f)
mentre per il denominatore dovrebbe essere $ ln (1/2) > 0 $ ???
Così facendo la funzione risulterebbe sempre decrescente invece ha un minimo in 0.
Dove sbaglio ?

Grazie.

[Quinzio]

"Asterix93":$ f(x) = arc ctg [log_(1/2)(e^(2x)-2e^x+2)]^5 $
$ f'(x) = (-[5log_(1/2)(e^(2x)-2e^x+2)]^4(2e^(2x)-2e^x))/((1+(log_(1/2)(e^(2x)-2e^x+2))^10 ln(1/2)*(e^(2x)-2e^x+2))) $

Ammesso che la derivata prima sia corretta, non riesco a studiarne la monotonia.
Ovvero tutto il numeratore dovrebbe risultare maggiore di 0 MAI $ AA $ x $ in $ X (insieme di definizione di f)
mentre per il denominatore dovrebbe essere $ ln (1/2) > 0 $ ???
Così facendo la funzione risulterebbe sempre decrescente invece ha un minimo in 0.
Dove sbaglio ?
Grazie.

Non è necessario fare la derivata.
Bisogna anche ragionare sugli esercizi cercando una visione complessiva del problema.
Hai

$ f(x) = arc ctg [log_(1/2)(e^(2x)-2e^x+2)]^5 = \pi/2-arctg [2log_(1/2)|e^(x)-1|]^5$

$|e^x-1|$ è crescente con $x>0$, altrimenti è descrescente
il logaritmo con base $<1$ inverte la "crescenza" dell'argomento.
Elevare alla 5^ non cambia la crescenza.
L'arctg non cambia la crescenza.
Il segno meno inverte la crescenza.
Due inversioni di crescenza dunque $f(x)$ è crescente con $x>0$, altrimenti è descrescente.

[chiaraotta1]

Mi sembra che poni
$log_(1/2)(e^(2x)-2e^x+2)=2log_(1/2)|e^(x)-1|$.
Non capisco. Per favore puoi spiegare?

[Brancaleone1]

Traformando i logaritmi in base $e$ a me viene:

$log_a(b)=ln(b)/ln(a)$

$=> f(x)=text(arccot) [log_(1/2)(e^(2x)-2e^x+2)]^5 =text(arccot)[ln(e^(2x)-2e^x+2)/ln(1/2)]^5=$

$= text(arccot)[ln(e^(2x)-2e^x+2)/-ln(2)]^5=pi/2-arctan[ln(e^(2x)-2e^x+2)/-ln(2)]^5=$

$=pi/2+arctan[ln(e^(2x)-2e^x+2)/ln(2)]^5=pi/2+arctan[[ln(e^(2x)-2e^x+2)]^5/[ln(2)]^5]$

Tutto ciò che io sono in grado di affermare è che:
*$f(x)$ è strettamente positiva: infatti $arctan(t) > -pi/2 forall t in mathbb(R)$;
*$f(0)=pi/2$
*$lim_(x -> +oo) f(x)=pi$
*$lim_(x -> -oo) f(x)=pi/2+arctan(1)$

Sicuramente tra $(-oo,0)$ ci sarà almeno un intervallo in cui decresce, e tra $(0,+oo)$ ci sarà almeno un intervallo in cui cresce, visti $f(0)$ e i limiti... ma la monotonia non saprei dirla senza lo studio della derivata prima.

EDIT: tanto per mia curiosità, mi son calcolato la derivata e mi viene:

$f'(x)=1/(1+{[ln(e^(2x)-2e^x+2)]^5/[ln(2)]^5}^2) cdot (5(2e^(2x)-2e^x)/(e^(2x)-2e^x+2)[ln(e^(2x)-2e^x+2)]^4 [ln(2)]^5)/[ln(2)]^10=$

$=((10e^x(e^x-1))/(e^(2x)-2e^x+2)[ln(e^(2x)-2e^x+2)]^4 [ln(2)]^5)/([ln(2)]^10{1+[ln(e^(2x)-2e^x+2)]^10/[ln(2)]^10})=$

$=((10e^x(e^x-1))/(e^(2x)-2e^x+2)[ln(e^(2x)-2e^x+2)]^4 [ln(2)]^5)/([ln(2)]^10+[ln(e^(2x)-2e^x+2)]^10)=$

$=(10e^x(e^x-1)[ln(e^(2x)-2e^x+2)]^4 [ln(2)]^5)/((e^(2x)-2e^x+2){[ln(2)]^10+[ln(e^(2x)-2e^x+2)]^10})$

[Quinzio]

"chiaraotta":Mi sembra che poni
$log_(1/2)(e^(2x)-2e^x+2)=2log_(1/2)|e^(x)-1|$.
Non capisco. Per favore puoi spiegare?

Hai ragione, portate pazienza...
Ogni tanto il cervello mi si prende 5 minuti di pausa....