Studio della funzione (senx)^(senx)

[SaraB911]

Ciao a tutti! Sto preparando l'esame di Analisi 1-2 e mi sono imbattuta in questo esercizio che chiede di studiare la funzione
$ f(x)=(sin x)^sinx $ .
Per trovare il dominio l'ho riscritta nella forma $ f(x)=e^(sinxln(sinx)) $ e ho imposto $ sinx>0 $ cioè $ 2kpi Essendo poi la funzione seno periodica di periodo $ 2pi $ ho pensato di studiarla nell'intervallo $ (0,2pi) $ .
Ho poi studiato i limiti a $ 0^+ $ e $ pi^- $ ottenendo nel primo caso $ 1 $, mentre nel secondo non sono riuscita a riportarmi alla forma di un limite notevole, pur avendo intuito che, probabilmente con qualche sostituzione opportuna, il risultato sarebbe stato lo stesso.
Ora la funzione dovrebbe essere discontinua nei punti $ 2kpi $ e $ (2k+1)pi $ e mi chiedevo se non la si potesse prolungare per continuità.
Poi sono passata allo studio della derivata prima, ma non lo riporto qui perchè avrei bisogno prima di capire se fino a questo momento ho ragionato correttamente. Purtroppo ho dubbi sul dominio (è corretto riscrivere la funzione in modo esponenziale?), sulla continuità e per questo non so dove andare a studiare i limiti.
Potete aiutarmi? Grazie

[Palliit]

"SaraB91":pur avendo intuito che, probabilmente con qualche sostituzione opportuna, ...

Puoi porre: $" "x=pi-epsilon" "$ e quindi studiare il limite per $" "epsilon to 0^+" "$. Le relazioni fra archi associati fanno il resto.

[SaraB911]

Ti ringrazio! Sai dirmi qualcosa riguardo la discontinuità? Dovrei fare i limiti anche a 2pigreco?

[paolomax95]

Le funzioni si prolungano per continuità quando non sono definite in un punto $x_0$ però sono definite in un intorno sinistro e destro di $x_0$ e hai che $\lim_{x\to\x_0+} f(x) = l = lim_{x\to\x_0^-} f(x)$, con $l \in \mathbb{R}$

In questo caso la funzione è definita solo per alcuni intervalli, quindi negli estremi di questi intervalli non hai un punto isolato ma tutto un intervallo in cui la funzione non è definita

Inoltre il dominio dovrebbe essere quello che hai scritto tu se $k \in \mathbb{Z}^+ $ mentre il dominio diventa $ 2k\pi

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[@melia]

"SaraB91":Ti ringrazio! Sai dirmi qualcosa riguardo la discontinuità? Dovrei fare i limiti anche a 2pigreco?

La funzione ha periodo $2pi$, quindi a $2 pi^+$ ha lo stesso limite che ha a $0^+$

[SaraB911]

"paolomax95":
Inoltre il dominio dovrebbe essere quello che hai scritto tu se $k \in \mathbb{Z}^+ $ mentre il dominio diventa $ 2k\pi
Infatti era questo il dubbio che avevo sul dominio. Quindi è lecito studiarla su (0,2pigreco)?


Grazie @melia, non so perchè a volte non mi rendo conto di queste cose

[paolomax95]

"SaraB91":
Quindi è lecito studiarla su (0,2pigreco)?

Sì e in quell'intervallo, essendo definita solo tra 0 e $pi$, tra $pi$ e $2pi$ non c'è da studiare

[SaraB911]

Ciao, grazie per la risposta!:)