Studio della funzione integrale avente estremo "particolare"
Ho visto che vi sono preziosissime indicazioni per lo studio di funzioni integrali.
Ne ho trovata una molto interessante che vi presento nella speranza di stuzzicare qualche considerazione:
$$ \displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{1}{cos(x)}}}\frac{log(1+t^2)}{t(1+t^2)}dt $$.
Quali passi seguireste per tracciarne in modo qualitativo il grafico?
Un saluto
A.
Ne ho trovata una molto interessante che vi presento nella speranza di stuzzicare qualche considerazione:
$$ \displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{1}{cos(x)}}}\frac{log(1+t^2)}{t(1+t^2)}dt $$.
Quali passi seguireste per tracciarne in modo qualitativo il grafico?
Un saluto
A.
Risposte
Beh, sempre i soliti.
Tieni presente che la tua funzione è composta dalla funzione $g(x)=1/(cos x)$ e da $F(y)=\int_0^y f(t)"d"t$, con l'integrando sommabile in tutto $RR$ (perché si prolunga con continuità su $0$ ed è infinitesimo all'infinito d'ordine maggiore di $2$).
Ne consegue che $F(g(x))$ è definita e continua nell'insieme di definizione di $g$, ossia per $x!= pi/2+k pi$ ($k in ZZ$).
Per il resto, fai tu.
Tieni presente che la tua funzione è composta dalla funzione $g(x)=1/(cos x)$ e da $F(y)=\int_0^y f(t)"d"t$, con l'integrando sommabile in tutto $RR$ (perché si prolunga con continuità su $0$ ed è infinitesimo all'infinito d'ordine maggiore di $2$).
Ne consegue che $F(g(x))$ è definita e continua nell'insieme di definizione di $g$, ossia per $x!= pi/2+k pi$ ($k in ZZ$).
Per il resto, fai tu.
Ciao e grazie per il preziosissimo supporto.
Secondo te è tracciabile con Wolfram Alpha versione on line?
Ci ho provato ma...senza risultati.
Quali comandi dovrei impartire?
Ho provato con plot integral...ma la sintassi successiva credo non sia corretta.
Il tutto solo per verificare la bontà di quanto fatto.
Ancora grazie
A.
Secondo te è tracciabile con Wolfram Alpha versione on line?
Ci ho provato ma...senza risultati.
Quali comandi dovrei impartire?
Ho provato con plot integral...ma la sintassi successiva credo non sia corretta.
Il tutto solo per verificare la bontà di quanto fatto.
Ancora grazie
A.
La $F$ è pari (perché $f$ è dispari ed il punto iniziale è in $0$) e $g$ pure, quindi la funzione assegnata è pari.
Dato che $g$ è periodica di periodo $2pi$, anche la funzione assegnata è periodica di periodo $2pi$.
Per questi motivi, basta studiare la funzione assegnata in $[0,pi]$.
Visto che $F(y)>0$ solo se $y>0$, la funzione assegnata è positiva quando $1/(cos x)>0$ ossia in $]0,pi/2[$, ed è negativa in $]pi/2,pi[$.
Dato che la $f$ è sommabile e dispari, si ha:
\[
\lim_{y\to \pm \infty} F(y)= l
\]
con $l in ]0,+oo[$ e perciò:
\[
\lim_{x\to(\pi/2)^\pm} F(g(x))= l\; ;
\]
pertanto, la funzione assegnata ha una discontinuità eliminabile in $pi/2$. Da adesso in poi, consideriamo il prolungamento per continuità.
La funzione assegnata è continua e derivabile quanto si vuole per $x!=pi/2$ e la sua derivata prima in $]0,pi[$ è:
\[
f(g(x))\ g^\prime (x)=\frac{\log\left(1+1/\cos^2 x\right)}{1+1/\cos^2 x}\ \tan x\; ,
\]
la quale è positiva per $tan x>0$ ossia in $]0,pi/2[$ e negativa altrove; dunque la funzione assegnata è strettamente crescente in $[0,pi/2]$ e strettamente decrescente altrove.
I punti $0$ e $pi$ sono di minimo e $pi/2$ è di massimo.
In più, in $pi/2$ la funzione assegnata è derivabile ed ha derivata nulla.
La derivata seconda è seccante da calcolare e la lascio a te.
Dato che $g$ è periodica di periodo $2pi$, anche la funzione assegnata è periodica di periodo $2pi$.
Per questi motivi, basta studiare la funzione assegnata in $[0,pi]$.
Visto che $F(y)>0$ solo se $y>0$, la funzione assegnata è positiva quando $1/(cos x)>0$ ossia in $]0,pi/2[$, ed è negativa in $]pi/2,pi[$.
Dato che la $f$ è sommabile e dispari, si ha:
\[
\lim_{y\to \pm \infty} F(y)= l
\]
con $l in ]0,+oo[$ e perciò:
\[
\lim_{x\to(\pi/2)^\pm} F(g(x))= l\; ;
\]
pertanto, la funzione assegnata ha una discontinuità eliminabile in $pi/2$. Da adesso in poi, consideriamo il prolungamento per continuità.
La funzione assegnata è continua e derivabile quanto si vuole per $x!=pi/2$ e la sua derivata prima in $]0,pi[$ è:
\[
f(g(x))\ g^\prime (x)=\frac{\log\left(1+1/\cos^2 x\right)}{1+1/\cos^2 x}\ \tan x\; ,
\]
la quale è positiva per $tan x>0$ ossia in $]0,pi/2[$ e negativa altrove; dunque la funzione assegnata è strettamente crescente in $[0,pi/2]$ e strettamente decrescente altrove.
I punti $0$ e $pi$ sono di minimo e $pi/2$ è di massimo.
In più, in $pi/2$ la funzione assegnata è derivabile ed ha derivata nulla.
La derivata seconda è seccante da calcolare e la lascio a te.
Ciao Gugo e grazie per l'aiuto e le preziose perle.
Se la $ F(x) $ è una funzione le cui caratteristiche sono ben descritte, il massimo e minimo dovrebbero essere dati da:
$ +- \int_0^\infty f(t)"d"t $
Secondo me il tutto si dovrebbe ricondurre però ad un integrale il cui valore è noto o mi sbaglio?
Se la funzione risulta periodica di periodo noto, si è individuato lo studio del segno della derivata,non penso sia necessaria la derivata seconda. Quali altre info potrebbe apportare?
Lo si potrà mai inserire in Wolfram Alpha on line per fare un check?
Un saluto ed un grazie ancora
A.
ps perchè affermi:"Per questi motivi, basta studiare la funzione assegnata in [0,π]."?Forse trascuro qualche particolare.
Se la $ F(x) $ è una funzione le cui caratteristiche sono ben descritte, il massimo e minimo dovrebbero essere dati da:
$ +- \int_0^\infty f(t)"d"t $
Secondo me il tutto si dovrebbe ricondurre però ad un integrale il cui valore è noto o mi sbaglio?
Se la funzione risulta periodica di periodo noto, si è individuato lo studio del segno della derivata,non penso sia necessaria la derivata seconda. Quali altre info potrebbe apportare?
Lo si potrà mai inserire in Wolfram Alpha on line per fare un check?
Un saluto ed un grazie ancora
A.
ps perchè affermi:"Per questi motivi, basta studiare la funzione assegnata in [0,π]."?Forse trascuro qualche particolare.
Ciao Gugo,
diciamo che il tutto è in dirittura di arrivo.
Rimangono da calcolare i due integrali sotto i cui valori ho già noti ma che si dovrebbero fare senza ricorrere all'aiuto della teoria dei residui:
$ \int_{0}^{+\infty}\frac{log(1+x^2)}{x(1+x^2)}dt = pi^2/12 $
$ \int_{0}^{1}\frac{log(1+x^2)}{x(1+x^2)}dt = 0 $
Di questi il primo è il valore del massimo (e con il segno negativo il minimo) della nostra funzione.
Il secondo è il valore assunto dalla funzione nello zero
Ho effettuato una ricerca ma sembra che sembra venga risolto con i residui.
Eppure secondo me un modo,
riconducendosi alle serie e/o ad un integrale "elementare" di cui si conosce il valore, deve esserci.
Un saluto ed un grazie
A.
diciamo che il tutto è in dirittura di arrivo.
Rimangono da calcolare i due integrali sotto i cui valori ho già noti ma che si dovrebbero fare senza ricorrere all'aiuto della teoria dei residui:
$ \int_{0}^{+\infty}\frac{log(1+x^2)}{x(1+x^2)}dt = pi^2/12 $
$ \int_{0}^{1}\frac{log(1+x^2)}{x(1+x^2)}dt = 0 $
Di questi il primo è il valore del massimo (e con il segno negativo il minimo) della nostra funzione.
Il secondo è il valore assunto dalla funzione nello zero
Ho effettuato una ricerca ma sembra che sembra venga risolto con i residui.
Eppure secondo me un modo,
riconducendosi alle serie e/o ad un integrale "elementare" di cui si conosce il valore, deve esserci.
Un saluto ed un grazie
A.
Il secondo integrale non può essere nullo, in quanto la funzione integranda è $>=0$ in $[0,1]$.
Per i valori effettivi, credo che la teoria dei residui aiuti e sia la via più semplice.
Per i valori effettivi, credo che la teoria dei residui aiuti e sia la via più semplice.
Ciao Gugo,
li ho caricati su Wolfram Alpha on line ed il secondo viene zero.
Se ci pensi è anche logico altrimenti per x=0 (l'origine) come farebbe la F(x) ad essere 0 se l'integrale non risultasse zero?
Per quando riguarda il max credo sia Ok. La corbelleria penso tanto di averla scritta per il minimo.Non credo la funzione integrale presenti valori negativi.
Controllo meglio.
Comunque vorrei trovare una soluzione senza l'uso dei residui.
Questo perchè mi ricordo che c'era di mezzo qualche integrazione per serie la cui somma forniva qualcosa di noto.
Un saluto
A.
li ho caricati su Wolfram Alpha on line ed il secondo viene zero.
Se ci pensi è anche logico altrimenti per x=0 (l'origine) come farebbe la F(x) ad essere 0 se l'integrale non risultasse zero?
Per quando riguarda il max credo sia Ok. La corbelleria penso tanto di averla scritta per il minimo.Non credo la funzione integrale presenti valori negativi.
Controllo meglio.
Comunque vorrei trovare una soluzione senza l'uso dei residui.
Questo perchè mi ricordo che c'era di mezzo qualche integrazione per serie la cui somma forniva qualcosa di noto.
Un saluto
A.
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