Studio della funzione $ f(x) = | x | + \sin \left( | x | \right) $
Salve a tutti. Come da titolo, sto studiando $ f(x) = | x | + \sin \left( | x | \right) $ e avrei bisogno di un controllo.
Si tratta di una funzione continua in tutto $ \mathbb{R} $, in quanto somma di una funzione continua in $ \mathbb{R} $ ( $ | x | $ ) e di una composizione di funzioni continue ( $ \sin \left( | x | \right) $). Noto la presenza di valori assoluti e di una funzione trigonometrica, quindi mi chiedo immediatamente se la funzione è pari e/o periodica.
\[
f (-x) = | - x | + \sin \left( | -x | \right) = | x | + \sin \left( | x | \right) = f (x)
\]
Trattandosi dunque di una funzione pari, posso studiarla per $ x \geq 0 $, ovvero considererò $ f (x) = x + \sin x $ per $ x \geq 0 $. Questa però non è periodica in quanto la crescita è parecchio influenzata da $ | x | $ che, al crescere di $ x $, diventa sempre più grande. Inoltre, si tratta di una funzione sempre positiva Intuisco già che ci sarà un punto di minimo globale in $ x = 0 $.
Per quanto riguarda la monotonia, tenendo in mente che la funzione è pari e quanto appena affermato
\[ f^\prime (x) = 1 + \cos x \qquad \text{quando } x > 0 \]
e i punti candidati di massimo/minimo sono
\[
1 + \cos x = 0 \leadsto \cos x = -1 \leadsto x = \pi + 2 k \pi \quad \text{con } k \in \mathbb{Z}
\]
Vediamo allora dove $ f (x) $ cresce...
\[
1 + \cos x \geq 0 \leadsto \cos x \geq -1 \qquad \forall x \in \mathbb{R}
\]
...cresce sempre.
Calcolo la derivata seconda:
\[
f^{\prime\prime} (x) = -\sin x
\]
ne studio il segno
\[
- \sin x \geq 0 \leadsto \sin x \leq 0 \leadsto x = -\pi -\arcsin 0 + 2 \pi n \leq x \leq \arcsin 0 + 2 \pi n \quad \text{con } n \in \mathbb{Z} \leadsto - \pi + 2\pi n \leq x \leq 2 \pi n \quad \text{con } n \in \mathbb{Z}
\]
Non capisco come posso riportare quest'ultimo dato su un grafico. Mi potete dare una mano?
Si tratta di una funzione continua in tutto $ \mathbb{R} $, in quanto somma di una funzione continua in $ \mathbb{R} $ ( $ | x | $ ) e di una composizione di funzioni continue ( $ \sin \left( | x | \right) $). Noto la presenza di valori assoluti e di una funzione trigonometrica, quindi mi chiedo immediatamente se la funzione è pari e/o periodica.
\[
f (-x) = | - x | + \sin \left( | -x | \right) = | x | + \sin \left( | x | \right) = f (x)
\]
Trattandosi dunque di una funzione pari, posso studiarla per $ x \geq 0 $, ovvero considererò $ f (x) = x + \sin x $ per $ x \geq 0 $. Questa però non è periodica in quanto la crescita è parecchio influenzata da $ | x | $ che, al crescere di $ x $, diventa sempre più grande. Inoltre, si tratta di una funzione sempre positiva Intuisco già che ci sarà un punto di minimo globale in $ x = 0 $.
Per quanto riguarda la monotonia, tenendo in mente che la funzione è pari e quanto appena affermato
\[ f^\prime (x) = 1 + \cos x \qquad \text{quando } x > 0 \]
e i punti candidati di massimo/minimo sono
\[
1 + \cos x = 0 \leadsto \cos x = -1 \leadsto x = \pi + 2 k \pi \quad \text{con } k \in \mathbb{Z}
\]
Vediamo allora dove $ f (x) $ cresce...
\[
1 + \cos x \geq 0 \leadsto \cos x \geq -1 \qquad \forall x \in \mathbb{R}
\]
...cresce sempre.
Calcolo la derivata seconda:
\[
f^{\prime\prime} (x) = -\sin x
\]
ne studio il segno
\[
- \sin x \geq 0 \leadsto \sin x \leq 0 \leadsto x = -\pi -\arcsin 0 + 2 \pi n \leq x \leq \arcsin 0 + 2 \pi n \quad \text{con } n \in \mathbb{Z} \leadsto - \pi + 2\pi n \leq x \leq 2 \pi n \quad \text{con } n \in \mathbb{Z}
\]
Non capisco come posso riportare quest'ultimo dato su un grafico. Mi potete dare una mano?
Risposte
Ciao
Ottimo approccio
Non capisco completamente l ultima parte sullo studio del segno della derivata seconda
Quando arrivi a domandarti
$-senx>=0$
Trovi che x deve essere compreso tra pi greco e 2 pigreco e relativa periodicità $pi<=x<=2pi$ in quegli intervalli la nostra funzione avrà la concavità rivolta verso l alto, negli altri verso il basso nei punti $kpi$ $ kinNN$ avremo punti di flesso
Volendo disegnare il grafico inizierei dal primo quadrante disegnando la sua bisettrice, metterei qualche punto strategico tipo
$f(pi/2)=pi/2 +1$ qui la funzione è sopra la bisettrice
$ f(pi) =pi+0$ lì la bisettrice incontra la funzione
$f(3/2pi)=3/2pi-1)$ qui la funzione è sotto la bisettrice
...
In pratica il nostro grafico "danza" intorno alla bisettrice
Un po' sopra quando il seno di x è positivo, un po' sotto quando è negativo, si incontrano quando il seno di x è nullo.
Usa l asse y come uno specchio per il secondo quadrante
Ottimo approccio
Non capisco completamente l ultima parte sullo studio del segno della derivata seconda
Quando arrivi a domandarti
$-senx>=0$
Trovi che x deve essere compreso tra pi greco e 2 pigreco e relativa periodicità $pi<=x<=2pi$ in quegli intervalli la nostra funzione avrà la concavità rivolta verso l alto, negli altri verso il basso nei punti $kpi$ $ kinNN$ avremo punti di flesso
Volendo disegnare il grafico inizierei dal primo quadrante disegnando la sua bisettrice, metterei qualche punto strategico tipo
$f(pi/2)=pi/2 +1$ qui la funzione è sopra la bisettrice
$ f(pi) =pi+0$ lì la bisettrice incontra la funzione
$f(3/2pi)=3/2pi-1)$ qui la funzione è sotto la bisettrice
...
In pratica il nostro grafico "danza" intorno alla bisettrice
Un po' sopra quando il seno di x è positivo, un po' sotto quando è negativo, si incontrano quando il seno di x è nullo.
Usa l asse y come uno specchio per il secondo quadrante
Grazie!
Ciao
Prego
Cosa studi di preciso?
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