Studio della differenziabilità di una funzione
Ciao a tutti, sono nuova da queste parti spero potrete aiutarmi!
Devo risolvere questo esercizio : f(x,y) = (y-|x|)(y+x)(y^2-x^2) ; devo studiare la differenziabilità in (0,0) .
Ho studiato le derivate parziali rispetto a x e a y ovvero Fx e Fy, [per x<0 e x>0 (valore assoluto)].
Poi ho studiato i limite per (X,Y)->(-0+,y) dellla Fx e ho visto che i 2 limiti sono diversi quindi (se non erro)posso dire che non cè differenziablità in (X,Y)->(-0+,y). La stessa cosa ho fatto per Fy, i limiti sono diversi per (X,Y)->(-x+,0) quindi neanche qui ce differenziabilità..
Vorrei sapere se come ho svolto questo esercizio è giusto o sbagliato,se manca qualcosa o altro.. grazie per eventuali risposte!!
Devo risolvere questo esercizio : f(x,y) = (y-|x|)(y+x)(y^2-x^2) ; devo studiare la differenziabilità in (0,0) .
Ho studiato le derivate parziali rispetto a x e a y ovvero Fx e Fy, [per x<0 e x>0 (valore assoluto)].
Poi ho studiato i limite per (X,Y)->(-0+,y) dellla Fx e ho visto che i 2 limiti sono diversi quindi (se non erro)posso dire che non cè differenziablità in (X,Y)->(-0+,y). La stessa cosa ho fatto per Fy, i limiti sono diversi per (X,Y)->(-x+,0) quindi neanche qui ce differenziabilità..
Vorrei sapere se come ho svolto questo esercizio è giusto o sbagliato,se manca qualcosa o altro.. grazie per eventuali risposte!!
Risposte
Esistono funzioni che in un dato punto non hanno limite ma sono differenziabili quindi trovare che non esiste il limite non ti da informazioni sulla differenziabilità.
In questo caso credo sia corretto vedere che dato un vettore generico $u=(a,b)$ allora $df(0,0)(u) = \frac{\partial f}{\partial u}(0,0) = lim_{t\to 0} \frac{f((0,0)+t(a,b)) - f(0,0)}{t} = lim_{t\to 0} \frac{f(ta,tb)}{t} = lim_{t\to 0} \frac{(tb-|ta|)(tb+ta)(t^2b^2-t^2a^2)}{t} = lim_{t\to 0} t(b-|a|)(b+a)(b^2-a^2) = 0$.
In questo caso credo sia corretto vedere che dato un vettore generico $u=(a,b)$ allora $df(0,0)(u) = \frac{\partial f}{\partial u}(0,0) = lim_{t\to 0} \frac{f((0,0)+t(a,b)) - f(0,0)}{t} = lim_{t\to 0} \frac{f(ta,tb)}{t} = lim_{t\to 0} \frac{(tb-|ta|)(tb+ta)(t^2b^2-t^2a^2)}{t} = lim_{t\to 0} t(b-|a|)(b+a)(b^2-a^2) = 0$.
Quindi è piu corretto usare sempre la formula di differenziabilità,cioè quella che hai scritto tu? Sono un po confusa perchè spesso trovo esercizi svolti nella maniera che ho descritto io..
cmq ti ringrazio....
cmq ti ringrazio....
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