Studio della differenziabilità
$ f(x,y)=|x+y|(3x^2+2xy+y^2) $
Studiare la differenziabilità
$ f1(x,y)=-(x+y)(3x^2+2xy+y^2)=-(3x^3+5x^2y+3xy^2+y^3) $
$ f2(x,y)=(x+y)(3x^2+2xy+y^2)=3x^3+5x^2y+3xy^2+y^3 $
Il caso x=-y richiede di essere discusso, mentre nei casi restanti le funzioni sono derivabili con continuità in maniera molto evidente e quindi la funzione è differenziabile per il teorema del differenziale totale.
Nel caso di f1:
$ (partial f1)/(partial x) (x,-x)=-2x^2 $ e
$ (partial f1)/(partial y) (x,-x)=-2x^2 $
Nel caso di f2:
$ (partial f2)/(partial x) (x,-x)=2x^2 $ e
$ (partial f2)/(partial y) (x,-x)=2x^2 $
Dunque i gradienti sono sempre diversi (e ciò vuol dire che per x=-y la funzione non è derivabile, pertanto non è nemmeno differenziabile), tranne nel caso (x,y)=(0,0). Per (x,y)->(0,0) i gradienti coincidono e quindi la funzione è derivabile.
Ora:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) grad f1(x,y)=lim_((x,y) -> (0,0)) grad f2(x,y)=grad f1(0,0)=grad f2(0,0)=0 $
Quindi a me sembra (non ne sono certo) che f sia non solo derivabile nell'origine, ma anche derivabile con continuità; ma il teorema del differenziale totale richiede anche che la funzione sia derivabile in un intorno del punto, cosa non verificata.
Quindi...
Applichiamo la definizione di differenziabilità, dopo essere passato a coordinate polari, trovo:
$ lim_(p -> 0) +- p^2(3cos^3vartheta +5cos^2vartheta senvartheta +3cosvartheta sen^2vartheta +sen^3vartheta )=0 $ , espressione semplice perchè sia la funzione che il suo differenziale primo nell'origine sono nulli.
Dunque f è differenziabile nell'origine.
Che ne dite? É corretto?
Grazie in anticipo.
Studiare la differenziabilità
$ f1(x,y)=-(x+y)(3x^2+2xy+y^2)=-(3x^3+5x^2y+3xy^2+y^3) $
$ f2(x,y)=(x+y)(3x^2+2xy+y^2)=3x^3+5x^2y+3xy^2+y^3 $
Il caso x=-y richiede di essere discusso, mentre nei casi restanti le funzioni sono derivabili con continuità in maniera molto evidente e quindi la funzione è differenziabile per il teorema del differenziale totale.
Nel caso di f1:
$ (partial f1)/(partial x) (x,-x)=-2x^2 $ e
$ (partial f1)/(partial y) (x,-x)=-2x^2 $
Nel caso di f2:
$ (partial f2)/(partial x) (x,-x)=2x^2 $ e
$ (partial f2)/(partial y) (x,-x)=2x^2 $
Dunque i gradienti sono sempre diversi (e ciò vuol dire che per x=-y la funzione non è derivabile, pertanto non è nemmeno differenziabile), tranne nel caso (x,y)=(0,0). Per (x,y)->(0,0) i gradienti coincidono e quindi la funzione è derivabile.
Ora:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) grad f1(x,y)=lim_((x,y) -> (0,0)) grad f2(x,y)=grad f1(0,0)=grad f2(0,0)=0 $
Quindi a me sembra (non ne sono certo) che f sia non solo derivabile nell'origine, ma anche derivabile con continuità; ma il teorema del differenziale totale richiede anche che la funzione sia derivabile in un intorno del punto, cosa non verificata.
Quindi...
Applichiamo la definizione di differenziabilità, dopo essere passato a coordinate polari, trovo:
$ lim_(p -> 0) +- p^2(3cos^3vartheta +5cos^2vartheta senvartheta +3cosvartheta sen^2vartheta +sen^3vartheta )=0 $ , espressione semplice perchè sia la funzione che il suo differenziale primo nell'origine sono nulli.
Dunque f è differenziabile nell'origine.
Che ne dite? É corretto?
Grazie in anticipo.
Risposte
I calcoli li ho giá fatti, bisogna solo controllare la logica che c'é dietro. Non penso ci fosse bisogno di calcoli particolari perché non ci sono forme indeterminate.
"SalvatCpo":
Quindi a me sembra (non ne sono certo) che f sia non solo derivabile nell'origine, ma anche derivabile con continuità.
In realtà non lo è perché le derivate non sono definite in un intorno dell'origine. Il resto va tutto bene.
Quindi f è differenziabile nell'origine?
Si.
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