Studio della derivata nei punti in cui non è derivabile

[riccio28921]

Salve a tutti,
Stavo studiano la funzione:
$ f(x) = sqrt(ln(1+x^2) $
La funzione non è dotata di derivata nel punto x=0.
Derivo:
$ f'(x) = x/((1+x^2)sqrt(ln(1+x^2)) $
Vado a studiare la derivata nel punto x=0 ma non ci riesco
Sul libro c'è scritto che dovrei trovarmi:
$ f'(0) = -1 $
derivata sinistra.
e
$ f'(0) = 1 $
derivata destra.

Qualcuno gentilmente può aiutarmi?
Grazie

[Rigel1]

Vediamo la derivata sinistra:
\[
\lim_{x\to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x\to 0^-} \frac{\sqrt{\log(1+x^2)}}{x}
=\lim_{x\to 0^-} -\frac{\sqrt{\log(1+x^2)}}{|x|}
=\lim_{x\to 0^-} -\sqrt{\frac{\log(1+x^2)}{x^2}}=-1,
\]
dove nell'ultimo passaggio abbiamo usato il limite notevole \(\lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t} = 1\).
Analogamente si procede per la derivata destra.

[riccio28921]

Grazie mille, è stato molto gentile.