Studio della derivata

[Sk_Anonymous]

Salve a tutti!
Ho dei seri problemi a studiare la derivata della funzione:

$f(x)=(x*ln|x|)/(1+(ln|x|)^2)$

Qualcuno saprebbe darmi dei suggerimenti?

Grazie in anticipo per l'aiuto

[_luca.barletta]

derivata di un rapporto di funzioni, con al numeratore un prodotto di funzioni... prova ad impostare almeno i conti

[Sk_Anonymous]

avevo già provato a calcolarla partendo dal presupposto che la funzione è dispari, la studio solo per x>0, togliendo i valori assoluti e mi ritrovo con:

$f'(x)=((ln(x)+1)*(1+ln(x)^2)-(2*ln(x)*1/x)*x*ln(x))/(1+ln(x)^2)^2$

$f'(x)=(ln(x)^3-ln(x)^2+ln(x)+1)/(1+ln(x)^2)^2$

e mi sembra alquanto strana perciò penso di aver sbagliato qualcosa

che ne pensate?

[_luca.barletta]

"yavanna":

$f'(x)=(ln(x)^3-ln(x)^2+ln(x)+1)/(1+ln(x)^2)^2$

e mi sembra alquanto strana perciò penso di aver sbagliato qualcosa

che ne pensate?

è giusto

[Sk_Anonymous]

e ora per calcolare il valore del minimo che sarà in [0,1] come faccio?

Non mi sembra molto fattibile se non con approssimazioni

[clrscr]

Cioè in sostanza devi studiare il segno della derivata...visto che il denominatore è sempre positivo si studia il comportamento del numeratore.

Facciamo la seguente trasformazione:
$t=logx$ il che comporterà:
$t^3 - t^2 +t +1 >=0$ questa si può risolvere con Ruffini visto che una radice è $t=-1$(i calcoli te li lascio volentieri).
A me sembra questo il ragionamento da fare...
Non trovi? ciao

[milady1]

"clrscr":
$t^3 - t^2 +t +1 >=0$ questa si può risolvere con Ruffini visto che una radice è $t=-1$

$t=-1$ non mi sembra radice.........

[gugo82]

L'idea di porre $t=log x$, ma ti conduce dritta al'equazione cubica $t^3-t^2+t+1=0$ da studiare in $RR$.
Visto che i divisori di $1$ in $ZZ$ non sono zeri dell'applicazione polinomiale al primo membro puoi procedere con un po' di considerazioni "empiriche".
Innanzitutto scrivi l'equazione come $f(t) := t^3=t^2-t-1 =: g(t)$.
Nota che per $tge1$ hai $f(t)>t^2>g(t)$, quindi le tue soluzioni vanno ricercate in $(-oo ,1)$; d'altra parte per $tle(1-sqrt5)/2$ hai $f(t)<0 Hai $f(-1)=-1<1=g(-1)$ ed $f(0)=0> -1=g(0)$, quindi esiste un punto $tau in (-1,0)$ che è tale che $f(tau)=g(tau)$ (questa è una conseguenza del Teorema degli Zeri) e d'altra parte $tau$ deve essere maggiore di $(1-sqrt5)/2~-0.65$.
Disegnando bene i grafici di $f,g$ in $[-0.65 ,0]$ trovi che $tau$ è all'incirca pari a $-1/2$, cosicchè il valore di $x$ che annulla la tua derivata è circa $1/(sqrt e)$.
Continuando i grafici di $f$ e $g$ al di fuori di $[-0.65,0]$ si vede che per $ttau$ risulta $f(t)>g(t)$: ne consegue che $tau$ è l'unica soluzione dell'equazione cubica $t^3-t^2+t+1=0$ e perciò la tua derivata ha come unico zero quel valore di $x$ determinato in precedenza.

Spero di esserti stato utile, yavanna.