Studio della derivabilità di una funzione con parametro
Esercizio del compito di analisi 1 che purtroppo non sono riuscito a superare...
Potete darmi qualche suggerimento circa la risoluzione di questo quesito:
$ Gb(x) = { ( 2 - bx ),( 5 ),( ( b^3 ln x ) / ( x - 1 ) ):} $
Purtroppo graficamente non si vede granché bene, comunque la prima $ 2 - bx $ è valida per $ x < -4 $, la seconda $ 5 $ è valida per $ x = 1 $, la terza $ ( b^3 ln x ) / ( x - 1 ) $ valida per $ x > 1 $...
Con $ b in R$ bisogna stabilire quando la funzione è derivabile...
Ma come si discute una cosa del genere? Se me lo spiegate provo a farla io, è la prima volta che mi trovo ad avere a che fare con una parametrica...
Grazie
Potete darmi qualche suggerimento circa la risoluzione di questo quesito:
$ Gb(x) = { ( 2 - bx ),( 5 ),( ( b^3 ln x ) / ( x - 1 ) ):} $
Purtroppo graficamente non si vede granché bene, comunque la prima $ 2 - bx $ è valida per $ x < -4 $, la seconda $ 5 $ è valida per $ x = 1 $, la terza $ ( b^3 ln x ) / ( x - 1 ) $ valida per $ x > 1 $...
Con $ b in R$ bisogna stabilire quando la funzione è derivabile...
Ma come si discute una cosa del genere? Se me lo spiegate provo a farla io, è la prima volta che mi trovo ad avere a che fare con una parametrica...
Grazie
Risposte
devi trovare il valore del paramentro affinchè la funzione sia continua e derivabile nel punto dubbio, negli esercizi di questo tipo i punti da considerare sono quelli dove cambia la definizione della funzione, quindi nel tuo caso devi valutare continuità e derivabilità in $x=1$
Ok l'idea era quella però vedi se è giusto fare così:
Calcolo $ lim_(x -> 1^+) f(x) $ in cui $f(x)$ sarebbe la terza
e poi $ lim_(x -> 1^-) f(x) $ in cui $ f(x) $ sarebbe la prima?
Sul primo limite sono quasi sicuro, ma il secondo mi sembra un po strano e penso sia sbagliato visto che ho $x < -4$, no?
Calcolo $ lim_(x -> 1^+) f(x) $ in cui $f(x)$ sarebbe la terza
e poi $ lim_(x -> 1^-) f(x) $ in cui $ f(x) $ sarebbe la prima?
Sul primo limite sono quasi sicuro, ma il secondo mi sembra un po strano e penso sia sbagliato visto che ho $x < -4$, no?
il primo limite è giusto, ma il secondo in realtà non è da calcolare perchè sai già che la funzione è costante è vale $5$
Quindi in conclusione dovrei farne solo uno e cioè il primo?
Con quel limite mi vedo la continuità e poi con il limite del rapporto incrementale vedo se è derivabile giusto? ed ho finito?
Con quel limite mi vedo la continuità e poi con il limite del rapporto incrementale vedo se è derivabile giusto? ed ho finito?
up
Scusate ragazzi potreste darmi qualche suggerimento?
Grazie
Scusate ragazzi potreste darmi qualche suggerimento?
Grazie
Con il dominio che hai indicato la funzione non è neppure definita tra $-4$ e $1$, figurarsi se può essere derivabile. L'unica cosa da verificare è, eventualmente, la continuità in 1.
$f(1)=5$,
$lim_(x->1^+) (b^3lnx)/(x-1)=b^3$, quindi $b^3=5$ e $b=root3 (5)$
Per la derivabilità temo ti debba calcolare il limite del rapporto incrementale per $x->1^+$
$f(1)=5$,
$lim_(x->1^+) (b^3lnx)/(x-1)=b^3$, quindi $b^3=5$ e $b=root3 (5)$
Per la derivabilità temo ti debba calcolare il limite del rapporto incrementale per $x->1^+$
Ecco, il ragionamento che facevo io è esattamente il tuo, ma come fai ad avere $ b^3 $ come risultato del limite se sia il logaritmo che il denominatore sostituendo $ 1^+ $ vengono zero??? E' questo il mio dubbio, perché per vedere la derivabilità, il ragionamento è più o meno standard, si vede prima la continuità e poi la derivabilità con il rapporto incrementale, a questo punto è sul limite che non mi ritrovo...
???
Grazie
???
Grazie
No no scusa, errore mio di disattenzione, $0^+/0^+$ è uguale 1, quindi mi ritrovo con il tuo risultato...ora provo con il rapporto incrementale e se ho problemi lo scrivo...
Grazie @melia
Grazie @melia
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