Studio della derivabilità di una funzione

[BOYPRO44]

Buonasera, ho bisogno di un chiarimento riguardo allo studio della derivabilità di una funzione. Mi riferisco soprattutto alle funzioni definite a tratti, che più creano dubbi in questo campo. è corretto studiare la derivabilità di una funzione andando a calcolare la derivata prima e "studiando i limiti della derivata prima"? Teoricamente questo non dovrebbe essere uno studio della continuità della funzione derivata, che è diverso dallo studio della derivabilità? Propongo anche un esempio a riguardo. La funzione definita a tratti come 5*x + x^2*sen(1/x) quando x diverso da 0, 0 se x = 0. Vi ringrazierei immensamente se poteste rispondere a questa mia domanda. Grazie mille

[gugo82]

In generale no, non è la stessa cosa, a meno che la funzione non sia già continua nel punto in cui si raccordano le due espressioni analitiche.
Perché?
Fondamentalmente è una conseguenza del teorema di de l'Hôpital.