Studio della derivabilità di una funzione

[Marco.199511]

Salve, dovrei risolvere questo esercizio

Studiare la derivabilità della funzione $f(x)=x*arcsin|1-|x||$. Per prima cosa ho spezzato il modulo ottenendo le seguenti funzioni

\(\displaystyle \begin{equation}
\begin{cases}
x arcsin(-x-1), \ x<-1\\ x arcsin(1+x), \ -11
\end{cases}
\end{equation}\)

Sul libro ho studiato che una funzione si dice derivabile nel punto $x_0$ se $\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Per cui vado a verificare la derivabilità nei punti -1, 0 e 1.

Nel punto -1:

$\lim_{h\to 0^-}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{(-1+h)*arcsin(-(-1+h)-1)+arcsin(0)}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{(-1)*arcsin(-h)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{arcsin(h)}{h}=1$

nell'ultimo passaggio ho sfruttato il fatto che l'arcsin è una funzione dispari ed un suo limite notevole: $\lim_{x\to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1$

Vedo cosa succede da destra

$\lim_{h\to 0^+}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{(-1+h)*arcsin(1+(-1+h))+arcsin(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{-arcsin(h)}{h}=-1$

Per cui non ho derivabilità in -1, che rappresenta un punto angoloso.

Verifico in 0

$\lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(-0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{(0+h)*arcsin(1+(0+h))-arcsin(0)}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{(h)*arcsin(1+h)}{h}=arcsin(1)=\pi/2$

$\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(-0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{(0+h)*arcsin(1-(0+h))-arcsin(0)}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{(h)*arcsin(1-h)}{h}=arcsin(1)=\pi/2$

Quindi in 0 la funzione è derivabile

Mentre in 1

$\lim_{h\to 0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{(1+h)*arcsin(1-(1+h))-arcsin(0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{arcsin(-h)}{h}=-1$

$\lim_{h\to 0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{(1+h)*arcsin((1+h)-1)-arcsin(0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{arcsin(h)}{h}=1$

Anche 1 è un punto angoloso. Pensate sia corretto il ragionamento? C'è un modo più veloce di verificarlo eventualmente? Grazie

[Studente Anonimo]

Premesso che non ho controllato i tuoi conti e che sarebbe meglio determinare prima il dominio:

$|1-|x||<=1 rarr \{(1-|x|>=-1),(1-|x|<=1):} rarr \{(-2<=x<=2),(AA x in RR):} rarr -2<=x<=2$

puoi anche definire la funzione a tratti, derivarla e calcolare gli opportuni limiti della derivata medesima. Inoltre, puoi risparmiarti un po' di conti se sfrutti il fatto che la funzione è dispari. Infine, per i più esperti, si può evitare di definire la funzione a tratti utilizzando la funzione segno.

[Marco.199511]

"anonymous_0b37e9":Premesso che non ho controllato i tuoi conti e che sarebbe meglio determinare prima il dominio:

$|1-|x||<=1 rarr \{(1-|x|>=-1),(1-|x|<=1):} rarr \{(-2<=x<=2),(AA x in RR):} rarr -2<=x<=2$

puoi anche definire la funzione a tratti, derivarla e calcolare gli opportuni limiti della derivata medesima. Inoltre, puoi risparmiarti un po' di conti se sfrutti il fatto che la funzione è dispari. Infine, per i più esperti, si può evitare di definire la funzione a tratti utilizzando la funzione segno.

Effettivamente hai ragione, uno dei due punti (1 o -1) potevo decisamente evitarlo. Sul metodo della derivata invece come si procede? La funzione l'ho definita a tratti, dici di derivare le 4 funzioni separatamente e poi?

[Studente Anonimo]

Non dimenticarti che la funzione inversa del seno non è derivabile quando il suo argomento vale $[+-1]$, in questo caso per $[x=+-2] vv [x=0]$. Tuttavia, i problemi per $[x=0]$ già sorgevano dai valori assoluti. In definitiva, basta calcolare i seguenti limiti:

$[lim_(x->0^+)f'(x)] ^^ [lim_(x->1^-)f'(x)] ^^ [lim_(x->1^+)f'(x)] ^^ [lim_(x->2^-)f'(x)]$

[Marco.199511]

Ah ok, grazie