Studio della derivabilità

[catalanonicolo]

Dire per quali valori di a>=0 la f è derivabile.

$ f(x)={ ( (-x)^aarctg(1/x ) ;x<0),( x^aarctg(1/x); x>0 ),( 0; x=0 ):} $


ps. ho sdoppiato la funzione in -x e +x perché non capisco come inserire il modulo

Ritornando a noi la f è continua nel punto x=0 quindi non possiamo escludere che in esso sia dervibaile.

Per quanto riguarda la derivabilità nei punti $ x!= 0 $ ho calcolato la derivata ma non capisco come l'esponente a possa influire sulla derivabilità. Nel punto x=0 non so proprio come procedere. Qualcuno potrebbe aiutarmi?

[ciampax]

Una domanda prima di procedere: originariamente il valore assoluto era $|x^a|$ o $|x|^a$?

[catalanonicolo]

Era come il secondo (come hai fatto ad inserire il modulo?)

[ciampax]

Per il modulo basta inserire la barra verticale (quella sopra lo "slash").Bene, quindi il modo in cui hai scritto la funzione è consistente con la definizione (fosse stato $|x^a|$ avresti dovuto mettere $\pm x^a$ e le cose potevano cambiare). Dunque, per discutere la derivabilità in zero, è necessario discutere il limite del rapporto incrementale destro e sinistro in tale punto, e quindi i limiti
$$\lim_{h\to 0^\pm}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{|h|^a\cdot\arctan(1/h)}{h}$$
Possiamo porre $h=1/t$ in modo che $t\to\pm\infty$ e avere
$$\lim_{t\to\pm\infty}\frac{t\arctan t}{|t|^a}=\pm\frac{\pi}{4}\lim_{t\to\pm\infty}\frac{t}{|t|^a}=\\
\pm\frac{\pi}{4}\lim_{t\to \pm\infty}\frac{t}{(\pm t)^a}=\pm\frac{\pi}{4}\lim_{t\to +\infty} \pm(\pm t)^{1-a}=
\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & 1-a>0\\ \pi/4 & & 1-a=0\\ 0 & & 1-a<0
\end{array}\right.$$

Pertanto la funzione è derivabile solo quando $1-a<0$ cioè $a>1$.