Studio della convergenza uniforme

[borto97]

Buonasera, volevo condividere con voi un esercizio che ho trovato sulla convergenza uniforme e magari discutere se concordate sulla mia risoluzione.
Si tratta di studiare la convergenza della successione di funzioni $f_n (x) = (1+x^{2n})^{1/n}$ con $f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $n \in \mathbb{N}$.

Per prima cosa ho studiato la convergenza puntuale della successione.
Facendo il limite per $n\to\infty$ ho trovato che converge puntualmente a 1 se $-1 < x \le 1$, a $x^2$ se $x > 1$. Quindi sicuramente capiamo due cose: non ci può essere convergenza uniforme su $\mathbb{R}$ perchè la funzione $f$ a cui converge $f_n$ non è continua e non può esserci convergenza uniforme nemmeno su $(-\infty, -1]$ in quanto in questo intervallo il limite non esiste.

Passiamo alla convergenza uniforme.

Studiamo prima il caso $x\in(-1,1]$ : studiando la differenza

$|f_n (x) - f(x)| = |(1+x^{2n})^{1/n} - 1| = g_n (x)$

si trova che in $(-1,1]$ $g_n$ ha un massimo per $x = 1$. Ma $g_n (1) = 2^{1/n} - 1 \to 0$ per $n\to\infty$, quindi c'è convergenza uniforme su $(-1,1]$.

Studiamo ora la convergenza uniforme in $(1,\infty)$. Studiamo la differenza

$|f_n (x) - f(x)| = |(1+x^{2n})^{1/n} - x^2| = h_n (x)$.

La derivata di $h_n (x)$ è $h'_n (x) = 2x^{2n-1}(1+x^{2n})^{1/n - 1} - 2x$ e si ha $h'_n (x) \ge 0 \Leftrightarrow x^{2n -2}(1+x^{2n})^{1/n - 1} \ge 1$, cioè per ogni $x$, visto l'intervallo in cui ci troviamo.

Abbiamo capito che $h_n (x)$ è crescente e che si avrà \(\sup_{x\in(1,\infty)} h_n (x) = +\infty \). Non c'è quindi convergenza uniforme su $(1,\infty)$ ma ci sarà su intervalli del tipo $(1,M]$ con $1 < M < \infty$, infatti
\(\sup_{x\in(1,\infty)} h_n (x) = h_n (M) = (1+M^{2n})^{1/n} - M^2 \to 0 \) per $n\to\infty$.

Che ne dite? Siete d'accordo?

[otta96]

"shot22":non ci può essere convergenza uniforme su $\mathbb{R}$ perchè la funzione $f$ a cui converge $f_n$ non è continua e non può esserci convergenza uniforme nemmeno su $(-\infty, -1]$ in quanto in questo intervallo il limite non esiste.

Sicuro la funzione non sia continua? E poi che per gli $x<=-1$ non c'è convergenza puntuale? Le funzioni sono tutte pari...

Abbiamo capito che $h_n (x)$ è crescente e che si avrà \(\sup_{x\in(1,\infty)} h_n (x) = +\infty \).

Sicuro che il sup è $+\infty$?
Comunque il resto tutto ok.

[Sling]

Ciao! Sto studiando anche io questo argomento. Avrei alcune domande:
Nel primo caso $x in (-1,1]$ hai dedotto che $|(1+x^{2n})^{1/n} - 1| = (1+x^{2n})^{1/n} - 1$ ?

Anche nel secondo caso $(1,+infty)$ come hai trovato che: $|(1+x^{2n})^{1/n} - x^2| = (1+x^{2n})^{1/n} - x^2$ ?

[borto97]

Sicuro la funzione non sia continua?

Pensavo che essendo il limite 1 se $−11$ allora la funzione limite $f$ non fosse continua.. mi sbaglio?

E poi che per gli $x≤−1$ non c'è convergenza puntuale? Le funzioni sono tutte pari...

Io ho usato il fatto che per $x\le -1$ il limite $lim_{n\to\infty} x^n$ non esiste. Però ora che mi ci fai pensare posso scrivere il mio limite come $lim_{n\to\infty} (x^2)^n$ e posso dire... cosa posso dire? Che per $x = -1$ il limite è 1...e per $x<-1$? (Wolfram dice infinito complesso... ma non so di preciso cosa sia)

Sicuro che il sup è $+\infty$?

Non sono per niente sicuro Potrebbe essere $x^2 + 1$?

@Sling
Si

[otta96]

"shot22":Pensavo che essendo il limite 1 se $−11$ allora la funzione limite $f$ non fosse continua.. mi sbaglio?

E quali sarebbero i punti di discontinuità? (E perché?)

[quote]E poi che per gli $x≤−1$ non c'è convergenza puntuale? Le funzioni sono tutte pari...

Io ho usato il fatto che per $x\le -1$ il limite $lim_{n\to\infty} x^n$ non esiste. Però ora che mi ci fai pensare posso scrivere il mio limite come $lim_{n\to\infty} (x^2)^n$ e posso dire... cosa posso dire? Che per $x = -1$ il limite è 1...e per $x<-1$? (Wolfram dice infinito complesso... ma non so di preciso cosa sia)[/quote]
Puoi dire che per $x<-1$ succede esattamente quello che succede per $-x(>1)$.... e non fidarti più di tanto di Wolframalpha, se dice qualcosa di strano, può darsi che si stia riferendo a cose che non stai tenendo presente (spesso capita con i complessi).

[quote]Sicuro che il sup è $+\infty$?

Non sono per niente sicuro Potrebbe essere $x^2 + 1$?[/quote]
Di questo non ho fatto i calcoli, quindi non so quanto viene, potrebbe essere anche giusto, ma andrebbe dimostrato.

[borto97]

E quali sarebbero i punti di discontinuità? (E perché?)

In effetti la funzione limite è continua.. mi sono fatto ingannare da quell'$x^2$

Quindi, riassumendo il limite è 1 se $x\in[-1,1]$ mentre è $x^2$ se $x\in (-\infty, -1) \cup (1,\infty)$. La funzione limite $f$ è continua, quindi la successione di funzioni potrebbe anche convergere su $\mathbb{R}$. Tuttavia dai calcoli fatti sopra, tenendo conto delle correzioni che vanno fatte sul limite, si vede che c'è convergenza uniforme su $[-1,1]$ e su $(1,M]$ e $[-M,-1)$(lo possiamo dire sfruttando la simmetria della funzione) con $M > 1$. Possiamo concludere che c'è convergenza uniforme in $[-M, M]$.

Ci siamo? Ditemi se mi sono perso qualcosa per strada

P.S.

Di questo non ho fatto i calcoli, quindi non so quanto viene, potrebbe essere anche giusto, ma andrebbe dimostrato.

Io mi sono basato soltanto su un ragionamento grafico, può andare bene?

[otta96]

"shot22":

E quali sarebbero i punti di discontinuità? (E perché?)

In effetti la funzione limite è continua.. mi sono fatto ingannare da quell'$x^2$

Quindi, riassumendo il limite è 1 se $x\in[-1,1]$ mentre è $x^2$ se $x\in (-\infty, -1) \cup (1,\infty)$. La funzione limite $f$ è continua, quindi la successione di funzioni potrebbe anche convergere su $\mathbb{R}$. Tuttavia dai calcoli fatti sopra, tenendo conto delle correzioni che vanno fatte sul limite, si vede che c'è convergenza uniforme su $[-1,1]$ e su $(1,M]$ e $[-M,-1)$(lo possiamo dire sfruttando la simmetria della funzione) con $M > 1$. Possiamo concludere che c'è convergenza uniforme in $[-M, M]$.

Ci siamo? Ditemi se mi sono perso qualcosa per strada

Ora bisognerebbe capire se la convergenza uniforme c'è su tutto $RR$.

P.S.
[quote]Di questo non ho fatto i calcoli, quindi non so quanto viene, potrebbe essere anche giusto, ma andrebbe dimostrato.

Io mi sono basato soltanto su un ragionamento grafico, può andare bene?[/quote]
Andrebbe dimostrato se si vuole fare le cose per benino.

[borto97]

In effetti con delle semplici stime si vede che converge uniformemente su tutto $\mathbb{R}$