Studio della convergenza di una serie
Salve! Pur troppo ho alcuni problemi nell'effettuare lo studio della convergenza attraverso il criterio del confronto.
Questo è l'esercizio:
$ \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{3}{4n^2-1}\right) $
e se è possibile, devo calcolarne la somma.
Ora siccome da quel che so l'unico criterio che ci dia una somma è quello del confronto credo che sia quello da applicare. Ma non so come procedere. Mi potreste dare una mano? So benissimo che non basta un esempio per capire, in quanto serve la pratica, ma questo non lo riesco a gestire.
Grazie in anticipo per eventuali risposte.
Questo è l'esercizio:
$ \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{3}{4n^2-1}\right) $
e se è possibile, devo calcolarne la somma.
Ora siccome da quel che so l'unico criterio che ci dia una somma è quello del confronto credo che sia quello da applicare. Ma non so come procedere. Mi potreste dare una mano? So benissimo che non basta un esempio per capire, in quanto serve la pratica, ma questo non lo riesco a gestire.
Grazie in anticipo per eventuali risposte.
Risposte
Ciao! Per la convergenza potresti iniziare chiedendoti per quali valori di $n$ risulta $4n^2-1 \geq n^2$.
Per la somma: non mi risulta che il criterio del confronto dia informazioni sulla somma, al più sulla convergenza; ti può dare una stima dall'alto sulla somma se la serie con cui maggiori ha una somma nota.
Per la somma: quali serie si sanno sommare? Dopo averci pensato, prova ad usare la scomposizione in fratti semplici.
Per la somma: non mi risulta che il criterio del confronto dia informazioni sulla somma, al più sulla convergenza; ti può dare una stima dall'alto sulla somma se la serie con cui maggiori ha una somma nota.
Per la somma: quali serie si sanno sommare? Dopo averci pensato, prova ad usare la scomposizione in fratti semplici.
Ciao Cioscos,
Sì, è convergente ed è possibile calcolarne la somma osservando che la serie proposta si può facilmente ricondurre ad una serie telescopica, dato che $4n^2 - 1 = (2n - 1)(2n + 1)$, per cui si può scrivere:
$\frac{2}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} $
Dunque si tratta proprio di una somma telescopica con $b_n = \frac{1}{2n-1}$ e pertanto la somma è
$b_1 - b_{m+1} = 1 - \frac{1}{2m+1}$.
In definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\sum_{n=1}^{m} \frac{2}{4n^2 - 1} = 1 - \dfrac{1}{2m+1} = \dfrac{2m}{2m+1}}
\end{equation*}
Da qui non dovresti avere problemi a capire che la serie proposta è convergente e la sua somma è $S = 3/2 $
"Cioscos":
e se è possibile, devo calcolarne la somma.
Sì, è convergente ed è possibile calcolarne la somma osservando che la serie proposta si può facilmente ricondurre ad una serie telescopica, dato che $4n^2 - 1 = (2n - 1)(2n + 1)$, per cui si può scrivere:
$\frac{2}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} $
Dunque si tratta proprio di una somma telescopica con $b_n = \frac{1}{2n-1}$ e pertanto la somma è
$b_1 - b_{m+1} = 1 - \frac{1}{2m+1}$.
In definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\sum_{n=1}^{m} \frac{2}{4n^2 - 1} = 1 - \dfrac{1}{2m+1} = \dfrac{2m}{2m+1}}
\end{equation*}
Da qui non dovresti avere problemi a capire che la serie proposta è convergente e la sua somma è $S = 3/2 $
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