Studio della convergenza di una serie
Ciao, stavo studiando la convergenza di questa serie $\sum_{n=1}^oo (x^(2n))/(n!)$
con $x in RR$ converge per x se e solo se
$x >= 0 $
converge per ogni $x in RR$
$x = 0 $
$x in [ -1/2, 1/2]$
A primo impatto direi l'ultima opzione per la condizione necessaria della convergenza.
Sono partito a studiare la convergenza assoluta:
$|(x^(2n))/(n!)|$
Successivamente ho diviso in due casi applicando il criterio della radice n-esima
Nel denominatore mi esce la radice n-esima di n fattoriale. Per $ n -> +oo $ viene $+oo $ (applico Stirling).
Nel numeratore invece ho $-1 < x^2 < 1$
In questo punto mi blocco.. Qualcuno riesce a darmi una mano?
con $x in RR$ converge per x se e solo se
$x >= 0 $
converge per ogni $x in RR$
$x = 0 $
$x in [ -1/2, 1/2]$
A primo impatto direi l'ultima opzione per la condizione necessaria della convergenza.
Sono partito a studiare la convergenza assoluta:
$|(x^(2n))/(n!)|$
Successivamente ho diviso in due casi applicando il criterio della radice n-esima
Nel denominatore mi esce la radice n-esima di n fattoriale. Per $ n -> +oo $ viene $+oo $ (applico Stirling).
Nel numeratore invece ho $-1 < x^2 < 1$
In questo punto mi blocco.. Qualcuno riesce a darmi una mano?
Risposte
Riscriviamo la serie in questo modo:
e vediamo che la serie è a termini positivi con $a_n !=0$
Quindi possiamo applicare il criterio del rapporto che porge
$lim_(n rarr +oo)((x^2)^(n+1) n!)/((x^2)^n( n+1)!) =x^2/n rarr0$
Nota che il risultato è indipendente dal punto scelto e quindi la serie converge in ogni punto dell'asse reale
$sum_(n=1)^(oo)(x^2)^n/(n!)=sum_(n=1)^(oo)a_n$
e vediamo che la serie è a termini positivi con $a_n !=0$
Quindi possiamo applicare il criterio del rapporto che porge
$lim_(n rarr +oo)((x^2)^(n+1) n!)/((x^2)^n( n+1)!) =x^2/n rarr0$
Nota che il risultato è indipendente dal punto scelto e quindi la serie converge in ogni punto dell'asse reale
Il risultato del limite viene $x^2/(n + 1)$ (credo).
Comunque grazie, mi sono perso in un bicchier d'acqua.
Comunque grazie, mi sono perso in un bicchier d'acqua.
"jarrod":
Il risultato del limite viene $x^2/(n + 1)$ (credo).
ops....vero
Ciao jarrod,
Quello non è il risultato del limite: è stato omesso un $\lim_{n \to +\infty} $ davanti, per cui il risultato del limite è comunque $0$ come ti ha scritto tommik.
Per inciso noterei che non solo la serie proposta converge $\AA x \in \RR $, ma è anche piuttosto agevole determinarne la somma:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (x^(2n))/(n!) = \sum_{n=1}^{+\infty} ((x^2)^n)/(n!) = \sum_{n=0}^{+\infty} ((x^2)^n)/(n!) - 1 = e^{x^2} - 1 $
"jarrod":
Il risultato del limite viene $ x^2/(n+1) $ (credo).
Quello non è il risultato del limite: è stato omesso un $\lim_{n \to +\infty} $ davanti, per cui il risultato del limite è comunque $0$ come ti ha scritto tommik.
Per inciso noterei che non solo la serie proposta converge $\AA x \in \RR $, ma è anche piuttosto agevole determinarne la somma:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (x^(2n))/(n!) = \sum_{n=1}^{+\infty} ((x^2)^n)/(n!) = \sum_{n=0}^{+\infty} ((x^2)^n)/(n!) - 1 = e^{x^2} - 1 $
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