Studio della convergenza di un integrale improprio con parametri
Ciao a tutti 
Devo studiare la convergenza di questo integrale con il "criterio del confronto asintotico"
$ int_(0) ^ (+ oo ) ((x+1)^alpha )/((x + 3)^3 + e^(beta x)) dx $
Più nello specifico devo stabilire quando questo integrale converge e per quali valori dei parametri alpha e beta.
Conosco il "criterio del confronto asintotico": prevede in sostanza che trovi un maggiorante asintotico di questo integrale improprio di prima specie (la sola singolarità e l'infinita dell'intervallo di definizione se non sbaglio). Il problema è proprio trovare questo integrale asintotico per x -> $ + oo $ .
Il termine dominante a numeratore potrebbe essere $ x^(2alpha) $, mentre a denominatore non saprei, poichè essendoci una somma non credo che possa trovare un asintotico senza usare Taylor.
La via più semplice per studiare la convergenza di questo integrale improprio sono gli sviluppi di Taylor? Se si potreste almeno farmi capire come dovrei fare, magari scrivendomi qualche sviluppo? Non saprei proprio da dove iniziare
Grazie
Devo studiare la convergenza di questo integrale con il "criterio del confronto asintotico"
$ int_(0) ^ (+ oo ) ((x+1)^alpha )/((x + 3)^3 + e^(beta x)) dx $
Più nello specifico devo stabilire quando questo integrale converge e per quali valori dei parametri alpha e beta.
Conosco il "criterio del confronto asintotico": prevede in sostanza che trovi un maggiorante asintotico di questo integrale improprio di prima specie (la sola singolarità e l'infinita dell'intervallo di definizione se non sbaglio). Il problema è proprio trovare questo integrale asintotico per x -> $ + oo $ .
Il termine dominante a numeratore potrebbe essere $ x^(2alpha) $, mentre a denominatore non saprei, poichè essendoci una somma non credo che possa trovare un asintotico senza usare Taylor.
La via più semplice per studiare la convergenza di questo integrale improprio sono gli sviluppi di Taylor? Se si potreste almeno farmi capire come dovrei fare, magari scrivendomi qualche sviluppo? Non saprei proprio da dove iniziare
Grazie
Risposte
Ciao!
Innanzitutto, nel dominio di integrazione ovvero $I= [0; +\infty)$ la tua funzione presenta problemi solo all'infinito e lo studio deve limitarsi dunque al solo intorno di $+\infty$.
Se $\beta>0$ allora l'integrale converge avendo tu a denominatore un infinito di tipo esponenziale.
Se $\beta \le 0$ allora il termine esponenziale è trascurabile all'infinito e la funzione è asintotica a $x^{\alpha -3}$ e converge se $\alpha -3 <-1$ ovvero $\alpha <2$.
Innanzitutto, nel dominio di integrazione ovvero $I= [0; +\infty)$ la tua funzione presenta problemi solo all'infinito e lo studio deve limitarsi dunque al solo intorno di $+\infty$.
Se $\beta>0$ allora l'integrale converge avendo tu a denominatore un infinito di tipo esponenziale.
Se $\beta \le 0$ allora il termine esponenziale è trascurabile all'infinito e la funzione è asintotica a $x^{\alpha -3}$ e converge se $\alpha -3 <-1$ ovvero $\alpha <2$.
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