Studio della convergenza di un integrale
\(\int_0^\infty\frac{\displaystyle(\frac{\mathrm\pi}2-\mathrm{arctg}(\frac1{\mathrm x})^\mathrm k)}{(\mathrm e^\mathrm{kx}\;-\;1)}\operatorname d\mathrm x \)
non riesco proprio a risolverlo per per x=0, ho pensato di usare l'uguaglianza:
\(arc\tan(\frac1x)=\frac{\mathrm\pi}2-arc\tan(x) \)
ma non ne esco perchè c'è la potenza.
Ringrazio in anticipo per l'aiuto.
non riesco proprio a risolverlo per per x=0, ho pensato di usare l'uguaglianza:
\(arc\tan(\frac1x)=\frac{\mathrm\pi}2-arc\tan(x) \)
ma non ne esco perchè c'è la potenza.
Ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Ciao percival,
Benvenuto sul forum!
Un paio di domande...
L'integrale proposto è il seguente
$int_0^{+\infty} frac{pi/2 - arctan[(1/x)^k]}{e^{kx} - 1} dx $
oppure il seguente
$int_0^{+\infty} frac{pi/2 - [arctan(1/x)]^k}{e^{kx} - 1} dx = int_0^{+\infty} frac{pi/2 - arctan^k (1/x)}{e^{kx} - 1} dx $
?
Te lo chiedo perché nel primo caso la relazione $ arctan(1/x^k)=pi/2-arctan(x^k) $ la puoi usare...
Seconda domanda: $k \in \RR $, $k \in \ZZ $ o $k \in \NN $ ?
Benvenuto sul forum!
Un paio di domande...
L'integrale proposto è il seguente
$int_0^{+\infty} frac{pi/2 - arctan[(1/x)^k]}{e^{kx} - 1} dx $
oppure il seguente
$int_0^{+\infty} frac{pi/2 - [arctan(1/x)]^k}{e^{kx} - 1} dx = int_0^{+\infty} frac{pi/2 - arctan^k (1/x)}{e^{kx} - 1} dx $
?
Te lo chiedo perché nel primo caso la relazione $ arctan(1/x^k)=pi/2-arctan(x^k) $ la puoi usare...
Seconda domanda: $k \in \RR $, $k \in \ZZ $ o $k \in \NN $ ?
Scusami tanto, hai ragione sono stato ambiguo. Comunque è il secondo caso e k non è specificato ma penso che appartenga R
Comincerei con l'osservare che $k $ deve essere diverso da $0$, altrimenti si annulla il denominatore della funzione integranda. Poi non può essere $k < 0$ altrimenti per $x \to + infty $ l'integrale proposto è asintotico all'integrale
$- frac{pi}{2}\int_{0}^{+\infty} frac{e^{|k|x}}{e^{|k|x} - 1} dx $
che è divergente. Dunque l'integrale proposto può convergere solo se $ k > 0 $
Per $x \to 0^+ $ si ha:
$ int_0^{+\infty} frac{pi/2 - [arctan(1/x)]^k}{e^{kx} - 1} dx $ [tex]\sim[/tex] $ int_0^{+\infty} frac{pi/2 - (pi/2)^k}{e^{kx} - 1} dx $
e l'ultimo integrale scritto è divergente, a parte il caso in cui $k = 1 $ che va indagato ulteriormente.
Per $k = 1 $ si ha:
$ int_0^{+\infty} frac{pi/2 - [arctan(1/x)]^k}{e^{kx} - 1} dx = int_0^{+\infty} frac{pi/2 - arctan(1/x)}{e^{x} - 1} dx = int_0^{+\infty} frac{arctan(x)}{e^{x} - 1} dx \le int_0^{+\infty} frac{x}{e^{x} - 1} dx $
e l'ultimo integrale scritto è convergente, infatti si ha:
$int_{0}^{+\infty} frac{x}{e^{x} - 1} dx = int_{0}^{+\infty} frac{x}{e^x(1 - e^{- x})}dx = int_{0}^{+\infty} x e^{- x}frac{1}{1 - e^{- x}}dx = int_{0}^{+\infty} x e^{- x} sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-nx} dx = $
$ = int_{0}^{+\infty} x sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-(n + 1) x} dx $
Scambiando la serie con l'integrale, si ottiene:
$ int_{0}^{+\infty} x sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-(n + 1) x} dx = sum_{n = 0}^{+\infty} int_{0}^{+\infty} x e^{−(n+1)x} dx $
Posto $t := (n+1)x $ si ha:
$ int_{0}^{+\infty} x e^{−(n+1)x} dx = frac{1}{(n + 1)^2} int_{0}^{+\infty} t e^{−t} dt = frac{1}{(n + 1)^2} $
Dunque si ha:
$ int_{0}^{+\infty} x sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-(n + 1) x} dx = sum_{n = 0}^{+\infty} int_{0}^{+\infty} x e^{−(n+1)x} dx = sum_{n = 0}^{+\infty} frac{1}{(n + 1)^2} = sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2} $
L'ultima scritta è una serie la cui somma è ben nota, si ha $ sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6} $, perciò in definitiva si ha:
$ int_0^{+\infty} frac{pi/2 - arctan(1/x)}{e^{x} - 1} dx = int_0^{+\infty} frac{arctan(x)}{e^{x} - 1} dx \le int_0^{+\infty} frac{x}{e^{x} - 1} dx = frac{pi^2}{6} $
Concludendo, se non ho sbagliato qualcosa, l'integrale proposto è convergente solo per $k = 1 $
$- frac{pi}{2}\int_{0}^{+\infty} frac{e^{|k|x}}{e^{|k|x} - 1} dx $
che è divergente. Dunque l'integrale proposto può convergere solo se $ k > 0 $
Per $x \to 0^+ $ si ha:
$ int_0^{+\infty} frac{pi/2 - [arctan(1/x)]^k}{e^{kx} - 1} dx $ [tex]\sim[/tex] $ int_0^{+\infty} frac{pi/2 - (pi/2)^k}{e^{kx} - 1} dx $
e l'ultimo integrale scritto è divergente, a parte il caso in cui $k = 1 $ che va indagato ulteriormente.
Per $k = 1 $ si ha:
$ int_0^{+\infty} frac{pi/2 - [arctan(1/x)]^k}{e^{kx} - 1} dx = int_0^{+\infty} frac{pi/2 - arctan(1/x)}{e^{x} - 1} dx = int_0^{+\infty} frac{arctan(x)}{e^{x} - 1} dx \le int_0^{+\infty} frac{x}{e^{x} - 1} dx $
e l'ultimo integrale scritto è convergente, infatti si ha:
$int_{0}^{+\infty} frac{x}{e^{x} - 1} dx = int_{0}^{+\infty} frac{x}{e^x(1 - e^{- x})}dx = int_{0}^{+\infty} x e^{- x}frac{1}{1 - e^{- x}}dx = int_{0}^{+\infty} x e^{- x} sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-nx} dx = $
$ = int_{0}^{+\infty} x sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-(n + 1) x} dx $
Scambiando la serie con l'integrale, si ottiene:
$ int_{0}^{+\infty} x sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-(n + 1) x} dx = sum_{n = 0}^{+\infty} int_{0}^{+\infty} x e^{−(n+1)x} dx $
Posto $t := (n+1)x $ si ha:
$ int_{0}^{+\infty} x e^{−(n+1)x} dx = frac{1}{(n + 1)^2} int_{0}^{+\infty} t e^{−t} dt = frac{1}{(n + 1)^2} $
Dunque si ha:
$ int_{0}^{+\infty} x sum_{n = 0}^{+\infty} e^{-(n + 1) x} dx = sum_{n = 0}^{+\infty} int_{0}^{+\infty} x e^{−(n+1)x} dx = sum_{n = 0}^{+\infty} frac{1}{(n + 1)^2} = sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2} $
L'ultima scritta è una serie la cui somma è ben nota, si ha $ sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6} $, perciò in definitiva si ha:
$ int_0^{+\infty} frac{pi/2 - arctan(1/x)}{e^{x} - 1} dx = int_0^{+\infty} frac{arctan(x)}{e^{x} - 1} dx \le int_0^{+\infty} frac{x}{e^{x} - 1} dx = frac{pi^2}{6} $
Concludendo, se non ho sbagliato qualcosa, l'integrale proposto è convergente solo per $k = 1 $
Grazie mille, sei stato gentilissimo e anche molto chiaro!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo