Studio della convergenza di due serie
Salve a tutti ho alcune difficoltà nello studio della convergenza delle seguenti due serie.
Studiare la convergenza semplice e assoluta di: $ sum_{n=1}^(+\infty)sqrt(4n+1)sin(1/n^2) $
Per cui, partendo dallo studio della convergenza assoluta, devo studiare $ sum_{n=1}^(+\infty)|sqrt(4n+1)sin(1/n^2) | $. Ho fatto le seguenti considerazioni: per $ n->+\infty $ posso dire che $ sin(1/n^2)~= 1/n^2 $ e che $ sqrt(4n+1)~ sqrt(4n)=2sqrtn $ per cui mi ritrovo a confrontare la serie dei valori assoluti con $ 2sum_(n=1)^{+\infty}1/n^(3/2) $ che converge. Quindi converge la serie dei valori assoluti e quindi converge la serie di partenza. Poiché ho verificato la convergenza assoluta, la serie converge anche semplicemente.
Per la seconda serie, invece, è richiesto lo studio della convergenza e il calcolo di un valore approssimato della somma a meno di 1/200. La serie è la seguente:
$ sum_(n=1)^{+\infty}(4n-1)/(3n+1)3^n/4^n $
In questo caso mi sono ricondotto ad un confronto con la serie: $ sum_(n=1)^{+\infty}4/3(3/4)^n $ che converge.
Vorrei innanzitutto capire se è corretto oppure no il modo utilizzato per studiare la convergenza (ho forti dubbi sopratutto per la seconda serie) e, nel caso della seconda serie, ho un pò di difficoltà nello stabilire i passaggi da fare per calcolare la somma approssimata. Qualche parere? Grazie.
Studiare la convergenza semplice e assoluta di: $ sum_{n=1}^(+\infty)sqrt(4n+1)sin(1/n^2) $
Per cui, partendo dallo studio della convergenza assoluta, devo studiare $ sum_{n=1}^(+\infty)|sqrt(4n+1)sin(1/n^2) | $. Ho fatto le seguenti considerazioni: per $ n->+\infty $ posso dire che $ sin(1/n^2)~= 1/n^2 $ e che $ sqrt(4n+1)~ sqrt(4n)=2sqrtn $ per cui mi ritrovo a confrontare la serie dei valori assoluti con $ 2sum_(n=1)^{+\infty}1/n^(3/2) $ che converge. Quindi converge la serie dei valori assoluti e quindi converge la serie di partenza. Poiché ho verificato la convergenza assoluta, la serie converge anche semplicemente.
Per la seconda serie, invece, è richiesto lo studio della convergenza e il calcolo di un valore approssimato della somma a meno di 1/200. La serie è la seguente:
$ sum_(n=1)^{+\infty}(4n-1)/(3n+1)3^n/4^n $
In questo caso mi sono ricondotto ad un confronto con la serie: $ sum_(n=1)^{+\infty}4/3(3/4)^n $ che converge.
Vorrei innanzitutto capire se è corretto oppure no il modo utilizzato per studiare la convergenza (ho forti dubbi sopratutto per la seconda serie) e, nel caso della seconda serie, ho un pò di difficoltà nello stabilire i passaggi da fare per calcolare la somma approssimata. Qualche parere? Grazie.
Risposte
La prima è corretta
Per la seconda devi approssimare il resto $R_k=sum_(n=k+1)^(+infty)a_n$
Considera che il termine generico della seconda serie di può maggiorare con $(3/4)^(n-1)$ quindi basta fare qualche stima
Per la seconda devi approssimare il resto $R_k=sum_(n=k+1)^(+infty)a_n$
Considera che il termine generico della seconda serie di può maggiorare con $(3/4)^(n-1)$ quindi basta fare qualche stima
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