Studio della convergenza
Ciao a tutti,
mi potreste consigliare dei link dove viene spiegato in modo chiaro come si studia la convergenza uniforme e puntuale di una successione di funzione?
Ad esempio in questo esercizio non ho capito come svolgerlo, perchè sul libro salta un monte di passaggi
Studiare la convergenza in $I=[0,1] $ di $f_n(x)=\frac{n^2x^2}{1+n^2x^2}$
come lo risolvo?
Quali sono tutti i passaggi da affrontare in questo tipo di esercizi?
Grazie mille a tutti
mi potreste consigliare dei link dove viene spiegato in modo chiaro come si studia la convergenza uniforme e puntuale di una successione di funzione?
Ad esempio in questo esercizio non ho capito come svolgerlo, perchè sul libro salta un monte di passaggi
Studiare la convergenza in $I=[0,1] $ di $f_n(x)=\frac{n^2x^2}{1+n^2x^2}$
come lo risolvo?
Quali sono tutti i passaggi da affrontare in questo tipo di esercizi?
Grazie mille a tutti
Risposte
Beh la convergenza puntuale e uniforme si riferisce a due definizioni:
$f_n(x)$ converge puntuamente in $I=[a,b]$ se converge la successione $f_n(x) \forall x\in [a,b]$
ovvero se $\lim_{n->\infty} f_n(x)$ esiste finito (per semplicità si indica con $f(x)$ )
$f_n(x)$ converge uniformemente in $I=[a,b]$ se converge puntualmente a $f(x)$ in $I$ e se vale:
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|=0 \)
E' quindi chiaro che per provare la convergenza uniforme devi trovare la funzione "limite" della successione e studiare l'andamento del sup (la difficoltà infatti nel provare la convergenza uniforme è proprio la necessità di conoscere la funzione limite)
Ti sono chiare le definizioni? Come procederesti ora?
$f_n(x)$ converge puntuamente in $I=[a,b]$ se converge la successione $f_n(x) \forall x\in [a,b]$
ovvero se $\lim_{n->\infty} f_n(x)$ esiste finito (per semplicità si indica con $f(x)$ )
$f_n(x)$ converge uniformemente in $I=[a,b]$ se converge puntualmente a $f(x)$ in $I$ e se vale:
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|=0 \)
E' quindi chiaro che per provare la convergenza uniforme devi trovare la funzione "limite" della successione e studiare l'andamento del sup (la difficoltà infatti nel provare la convergenza uniforme è proprio la necessità di conoscere la funzione limite)
Ti sono chiare le definizioni? Come procederesti ora?
Le definizioni si, mi sono chiare. E' su come svolgere gli esercizi che non mi è chiaro.
Ho visto esercizi che fanno solo il limite e dicono che converge uniformemente, altri che fanno il limite, calcolano la derivata per il sup e altre cose. Non mi è chiaro quali sono i passi da seguire.
Ho visto esercizi che fanno solo il limite e dicono che converge uniformemente, altri che fanno il limite, calcolano la derivata per il sup e altre cose. Non mi è chiaro quali sono i passi da seguire.
Non ci sono dei passi standard. Ci si deve inventare ogni volta qualche trucco nuovo, come in tutto in matematica.
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