Studio della continuità e derivabilità di una funzione
Salve a tutti, avrei una domanda riguardante questo esercizio:
$f(x,y)={(0, text{se } x=1),(ye^(-((y)/(x-1))^2),text{se } x!=1):}$.
Mi si chiede di verificare la continuità e derivabilità di $f$.
Per quanto riguarda la continuità, banalmente ho pensato di controllare se:
$lim_(x->1)f(x)=f(1)$.
Per quanto riguarda la derivabilità invece, mi sono sorti dei dubbi. Come procedimento avevo pensato ad utilizzare la definizione ma non sono sicuro di applicarla bene in questo caso, perchè l'avere la funzione definita per casi solo per $x$, mi ha mandato in confusione e non riesco a spiegarmi bene da solo il perchè di questo ragionamento:
quando si applica la definizione, si controlla che $f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)$, però nel mio caso ho che il punto in questione è $x=1$ e non capisco se considerare il punto $(1,0)$ non avendo una $y$ oppure fare il limite del rapporto incrementale impostandolo differentemente.
Grazie mille a tutti per l'aiuto e spero di aver spiegato bene il mio dubbio
$f(x,y)={(0, text{se } x=1),(ye^(-((y)/(x-1))^2),text{se } x!=1):}$.
Mi si chiede di verificare la continuità e derivabilità di $f$.
Per quanto riguarda la continuità, banalmente ho pensato di controllare se:
$lim_(x->1)f(x)=f(1)$.
Per quanto riguarda la derivabilità invece, mi sono sorti dei dubbi. Come procedimento avevo pensato ad utilizzare la definizione ma non sono sicuro di applicarla bene in questo caso, perchè l'avere la funzione definita per casi solo per $x$, mi ha mandato in confusione e non riesco a spiegarmi bene da solo il perchè di questo ragionamento:
quando si applica la definizione, si controlla che $f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)$, però nel mio caso ho che il punto in questione è $x=1$ e non capisco se considerare il punto $(1,0)$ non avendo una $y$ oppure fare il limite del rapporto incrementale impostandolo differentemente.
Grazie mille a tutti per l'aiuto e spero di aver spiegato bene il mio dubbio
Risposte
Ciao! Non so come hai fatto per la continuità, ma il limite è in due variabili; quindi non so cosa intendi con la scrittura $\lim_{x \to 1} f(x)$. Il fatto che tu abbia una funzione definita a tratti solo per una delle due coordinate significa che la funzione cambia definizione solamente sulla retta verticale $x=1$ e ciò avviene per qualsiasi valore della coordinata $y$.
Per la derivabilità: controllare se $f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)$? Assolutamente no. Non si controlla quello. Devi verificare che i limiti dei rapporti incrementali fissata una delle due variabili esistano finiti.
Come per la continuità: dopo aver specificato perché $f$ è derivabile per ogni $(x,y)$ tale che $x \ne 1$, studi la derivabilità nel punto $(1,y)$ con $y$ generico.
Per la derivabilità: controllare se $f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)$? Assolutamente no. Non si controlla quello. Devi verificare che i limiti dei rapporti incrementali fissata una delle due variabili esistano finiti.
Come per la continuità: dopo aver specificato perché $f$ è derivabile per ogni $(x,y)$ tale che $x \ne 1$, studi la derivabilità nel punto $(1,y)$ con $y$ generico.
"Mephlip":
Ciao! Non so come hai fatto per la continuità, ma il limite è in due variabili; quindi non so cosa intendi con la scrittura $\lim_{x \to 1} f(x)$. Il fatto che tu abbia una funzione definita a tratti solo per una delle due coordinate significa che la funzione cambia definizione solamente sulla retta verticale $x=1$ e ciò avviene per qualsiasi valore della coordinata $y$.
Quindi è giusto verificare la continuità facendo il limite per $(x,y)->(1,y)$? Dato che la $y$ è generica?
"Mephlip":
Per la derivabilità: controllare se $f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)$? Assolutamente no. Non si controlla quello. Devi verificare che i limiti dei rapporti incrementali fissata una delle due variabili esistano finiti.
Come per la continuità: dopo aver specificato perché $f$ è derivabile per ogni $(x,y)$ tale che $x \ne 1$, studi la derivabilità nel punto $(1,y)$ con $y$ generico.
Quindi devo calcolare il limite del rapporto incrementale in $(1,y)$ in questo modo? Cioè:
$lim_(t->0)(f(t,0)-f(1,y))/t$
e
$lim_(t->0)(f(0,t)-f(1,y))/t$.
"Gianluk3":
Quindi è giusto verificare la continuità facendo il limite per $(x,y)->(1,y)$? Dato che la $y$ è generica?
Sì, corretto!
"Gianluk3":
Quindi devo calcolare il limite del rapporto incrementale in $(1,y)$ in questo modo? Cioè:
$lim_(t->0)(f(t,0)-f(1,y))/t$
e
$lim_(t->0)(f(0,t)-f(1,y))/t$
No, la derivabilità in che punti devi studiarla?
"Mephlip":
No, la derivabilità in che punti devi studiarla?
In $x=1$ ho problemi.
Per questo non capisco bene come impostare il limite. Dato però che la $y$ devo tenerla generica ho pensato di impostarlo così. Dove fa acqua il mio ragionamento?
Appunto, hai problemi per $x=1$ e $y$ generico: quindi la derivabilità la devi studiare nei punti $(1,y)$, che c'entrano quegli zeri? Perciò sbagli a impostare la definizione: applica le definizioni di derivata parziale rispetto a $x$ e $y$ nei punti $(1,y)$, per farlo devi semplicemente pensare che $y$ è generico (in pratica, è come se pensassi $y$ fissato ma generico e una volta fatto il conto per quella lo hai fatto per tutti gli infiniti $y$ in virtù del fatto che $y$ è generica: puoi richiamare $y$ con la lettera $\beta$ se ti dà confusione lasciarla come $y$).
"Mephlip":
Appunto, hai problemi per $x=1$ e $y$ generico: quindi la derivabilità la devi studiare nei punti $(1,y)$, che c'entrano quegli zeri? Perciò sbagli a impostare la definizione: applica le definizioni di derivata parziale rispetto a $x$ e $y$ nei punti $(1,y)$, per farlo devi semplicemente pensare che $y$ è generico (in pratica, è come se pensassi $y$ fissato ma generico e una volta fatto il conto per quella lo hai fatto per tutti gli infiniti $y$ in virtù del fatto che $y$ è generica: puoi richiamare $y$ con la lettera $\beta$ se ti dà confusione lasciarla come $y$).
Quindi il limite sarebbe:
$ lim_(t->0)(f(1+t,y)-f(1,y))/t $
e
$ lim_(t->0)(f(1,y+t)-f(1,y))/t $?
Corretto!
Perfetto grazie mille per l'aiuto!
Un'ultima domanda:
Se dovessi anche cercare i punti critici di $f$, dovrei:
1) Calcolare $nablaf(x,y)$
2) Porre $nablaf(x,y)=0$
3) Trovati i punti in cui si annulla, andare a calcolare la matrice hessiana nei punti in questione e valutarli,
corretto?
Un'ultima domanda:
Se dovessi anche cercare i punti critici di $f$, dovrei:
1) Calcolare $nablaf(x,y)$
2) Porre $nablaf(x,y)=0$
3) Trovati i punti in cui si annulla, andare a calcolare la matrice hessiana nei punti in questione e valutarli,
corretto?
Se devi solo cercare i punti critici basta fermarsi al punto 2.
"Luca.Lussardi":
Se devi solo cercare i punti critici basta fermarsi al punto 2.
Ok perfetto grazie mille.
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