Studio della continuità e derivabilità del prolungamento di una funzione
Salve ragazzi, mi sono appena iscritto a questo forum, speravo qualcuno qui riuscisse ad aiutarmi con questo esercizio, vi ringrazio in anticipo.
Sia data la funzione reale di variabile reale definita dalla legge
f(x) = $ (e^x-cosx-x(1-x)^(1/2)) / x^2 $
a) Provare che f è prolungabile per continuità in x = 0 e si indichi con $ g $ tale prolungamento.
b) Studiare la continuità e la derivabilità di $ g $ nel suo insieme di definizione.
Vi ringrazio in anticipo.
Sia data la funzione reale di variabile reale definita dalla legge
f(x) = $ (e^x-cosx-x(1-x)^(1/2)) / x^2 $
a) Provare che f è prolungabile per continuità in x = 0 e si indichi con $ g $ tale prolungamento.
b) Studiare la continuità e la derivabilità di $ g $ nel suo insieme di definizione.
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Per la a) devi calcolare il limite in quel punto e, se esiste finito, porlo come valore di $f(0)$. Quali sono i tuoi dubbi?
Più che altro ho problemi nel risolverla, mi spiego.
Ho calcolato il limite di x-> 0- della funzione:
$ lim (x->0^-) (e^x-cosx-x(1-x)^(1/2)) / x^2 =
lim (x->0^-) (e^x-1)/x^2 + 1/x^2 + ((-cosx-x(1-x)^(1/2)) / x^2) =
lim (x->0^-) (e^x-1)/x^2 + (1-cosx)/x^2 - x(1-x)^(1/2) / x^2 =
lim (x->0^-) 1/x * (e^x-1)/x + (1-cosx)/x^2 - (1-x)^(1/2)/x $
e con i limiti notevoli viene $ -infty * 1 + 1/2 + infty $
e non so come continuare
Ho calcolato il limite di x-> 0- della funzione:
$ lim (x->0^-) (e^x-cosx-x(1-x)^(1/2)) / x^2 =
lim (x->0^-) (e^x-1)/x^2 + 1/x^2 + ((-cosx-x(1-x)^(1/2)) / x^2) =
lim (x->0^-) (e^x-1)/x^2 + (1-cosx)/x^2 - x(1-x)^(1/2) / x^2 =
lim (x->0^-) 1/x * (e^x-1)/x + (1-cosx)/x^2 - (1-x)^(1/2)/x $
e con i limiti notevoli viene $ -infty * 1 + 1/2 + infty $
e non so come continuare
vengono coinvolti i termini infinitesimi di ordine superiore al primo, gli asintotici non sono sufficienti per la presenza della funzione $e^x $ quindi $e^x=1+x+x^2/2+o (x^2) $,
$cosx~~(1-x^2/2) $,
$sqrt (1-x)~~(1-x/2)$,
Sostituendo abbiamo:
$lim_(x->0^-)(1+x+x^2/2-(1-x^2/2)-x (1-x/2))/x^2$
$=lim_(x->0^-)(1+x+x^2/2-1+x^2/2-x+x^2/2)/x $
$=lim (x^2/2+x^2/2+x^2/2)/x^2$ $=lim (3/2x^2)/x^2=3/2$
$cosx~~(1-x^2/2) $,
$sqrt (1-x)~~(1-x/2)$,
Sostituendo abbiamo:
$lim_(x->0^-)(1+x+x^2/2-(1-x^2/2)-x (1-x/2))/x^2$
$=lim_(x->0^-)(1+x+x^2/2-1+x^2/2-x+x^2/2)/x $
$=lim (x^2/2+x^2/2+x^2/2)/x^2$ $=lim (3/2x^2)/x^2=3/2$
Non mi è chiaro come sei arrivato alla conclusione che $ e^x , cos x , sqrt(1-x) $ siano uguali a ciò che hai scritto.
Derivano dallo sviluppo in serie di Taylor, lo sviluppo di $cosx $ ed $sqrt (1-x) $ lo si può dedurre dai limiti notevoli, che comunque equivalgono allo sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo termine in $x $
Ti giuro, ho provato a capire come hai fatto Taylor ma non ci riesco... ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
con un po' di buona volontà viene anche con L'Hospital
Come ? Ponendo
$ f(x) - g(x) = (1/g(x) - 1/f(x)) / (1/(f(x)*g(x))) $ ?
$ f(x) - g(x) = (1/g(x) - 1/f(x)) / (1/(f(x)*g(x))) $ ?
L'altra via per risolverlo come affermato da @amelia è l'uso di Hopital , trovandoci nella forma indeterminata $0/0$
Avendo a numeratore una somma basta derivare singolarmente i vari termini, a denominatore abbiamo solamente il termine $x^2$ quindi avremo:
$lim_(x->0)(e^x+x/(2sqrt (1-x))-sqrt (1-x)+sinx)/(2x) $ $=(1+0-1+0)/0=0/0$ quindi abbiamo ancora l'indeterminazione, deriviamo ancora ed otteniamo:
$lim(e^x+x/(4 (1-x)^(3/2))+1/sqrt (1-x)+cosx)/2=(1+0+1+1)/2=3/2$
Avendo a numeratore una somma basta derivare singolarmente i vari termini, a denominatore abbiamo solamente il termine $x^2$ quindi avremo:
$lim_(x->0)(e^x+x/(2sqrt (1-x))-sqrt (1-x)+sinx)/(2x) $ $=(1+0-1+0)/0=0/0$ quindi abbiamo ancora l'indeterminazione, deriviamo ancora ed otteniamo:
$lim(e^x+x/(4 (1-x)^(3/2))+1/sqrt (1-x)+cosx)/2=(1+0+1+1)/2=3/2$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo