Studio della continuità di una funzione
La funzione è $f(x)=\{(arctg(1/x) if x !=0),(0 if x=0):}$
Bene, verifichiamo che $lim_{x \to \x_0}f(x)=f(x_0)$ per tutto $RR$. In particolare notiamo che $f(o)=arctg(1/0) \nexists$ in quanto la funzione non è definita.
A questo punto si studia se esiste il limite per x tendente a 0 di f(x)=arctg(1/x).
Ed ecco qui quello che non mi torna:
la funzione per $x \to \0$ teoricamente dovrebbe ridursi alla forma $arctg\infty$ e il limite dovrebbe tornare uguale a $(\pi)/2$. Invece da quanto si vede dal grafico della funzione per x tendente a 0 la funzione non ammette limite bensì esistono limite destro e limite sinistro così:
$lim_{x \to \0^+}arctg(1/x)=(\pi)/2 != lim_{x \to \0^-}arctg(1/x)=-(\pi)/2$ risultandone una discontinuità di prima specie.
Insomma quello che non capisco è: se $1/x=\infty$ e di conseguenza limite di $arctg\infty$ è uguale a $(\pi)/2$, perché in realtà (cosa che mi torna a guardare il grafico di arctg1/x) non risulta?
Bene, verifichiamo che $lim_{x \to \x_0}f(x)=f(x_0)$ per tutto $RR$. In particolare notiamo che $f(o)=arctg(1/0) \nexists$ in quanto la funzione non è definita.
A questo punto si studia se esiste il limite per x tendente a 0 di f(x)=arctg(1/x).
Ed ecco qui quello che non mi torna:
la funzione per $x \to \0$ teoricamente dovrebbe ridursi alla forma $arctg\infty$ e il limite dovrebbe tornare uguale a $(\pi)/2$. Invece da quanto si vede dal grafico della funzione per x tendente a 0 la funzione non ammette limite bensì esistono limite destro e limite sinistro così:
$lim_{x \to \0^+}arctg(1/x)=(\pi)/2 != lim_{x \to \0^-}arctg(1/x)=-(\pi)/2$ risultandone una discontinuità di prima specie.
Insomma quello che non capisco è: se $1/x=\infty$ e di conseguenza limite di $arctg\infty$ è uguale a $(\pi)/2$, perché in realtà (cosa che mi torna a guardare il grafico di arctg1/x) non risulta?
Risposte
"tianigel":
La funzione è $f(x)=\{(arctg1/x if x !=0),(0 if x=0):}$
...
In particolare notiamo che $f(o)=arctg1/0
non è vero, in $x=0$ si ha $f(x)=0$
scusate avevo sbagliato a scrivere
hai ragione, è definita comunque...come mi spiegate però il resto?
$arctg:$ $]-oo,+oo[ to ]-\pi/2,+\pi/2[$
Non riesco a fare la parentesi quadra aperta finale.
Non riesco a fare la parentesi quadra aperta finale.
"tianigel":
$lim_{x \to \0^+}arctg(1/x)=(\pi)/2 != lim_{x \to \0^-}arctg(1/x)=(\pi)/2$
hai perso un $-$ per strada...
comunque, brutalmente, se $x \to 0^-$ avrai come argomento dell'arcotangente un rapporto tra un numero positivo ed un numero negativo, mentre per $x \to 0^+$ un rapporto tra due numeri positivi
Dunque è giusto dire che, se abbiamo $1/x$, per x tendente a $0^+$ 1/x tende a infinito positivo, per x tendente a $0^-$ 1/x tende a infinito negativo?
"tianigel":
Dunque è giusto dire che, se abbiamo $1/x$, per x tendente a $0^+$ 1/x tende a infinito positivo, per x tendente a $0^-$ 1/x tende a infinito negativo?
forse meglio $+ \infty$ e $- \infty$
ti ringrazio molto
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