Studio della concavità

[Tommy85]

$y=x^(log^3 x)$

$y''=(e^(log^4 x))(4/x^2)(4log^6 x+3log^2 x-log^3 x)$
$y''=0$

$e^(log^4 x)$ è diversa da zero per ogni x del dominio quindi mi studio $(4log^6 x+3log^2 x-log^3 x)=0$ ora come faccio a trovare la x

[Obidream]

Credo che essendo tutti logaritmi, l'unico punto in cui sono tutti e 3 contemporaneamente nulli sia $x=1$

[Tommy85]

"Obidream":Credo che essendo tutti logaritmi, l'unico punto in cui sono tutti e 3 contemporaneamente nulli sia $x=1$

COME SEI ARRIVATO A TALE SOLUZIONE?

[Obidream]

Diciamo ad occhio...tanto scrivere $log^2(x)$ vuol dire scrivere $log(x)*log(x)$ quindi se trovo il punto in cui si annulla uno, ho trovato quello in cui si annullano tutti gli altri...

[Tommy85]

"Obidream":Diciamo ad occhio...tanto scrivere $log^2(x)$ vuol dire scrivere $log(x)*log(x)$ quindi se trovo il punto in cui si annulla uno, ho trovato quello in cui si annullano tutti gli altri...

CERTO SOLO CHE ABBIAMO QUESTO CHE PENSO SIA DIVERSO FORSE MI SBAGLIO...$log^2 x(4log^3 x+3-log x)=0$
quindi abbiamo un risultato che è $x=1$ e poi nn devo risolvere questo?
$(4log^3 x+3-log x)=0$ quindi $log x( 4log^2 x-1)=-3$ da cui abbiamo un altra soluzione che è $x=1/e^3$
e poi nn dovremmo risolvere anche l'altra che è $4log^2 x=-2$ e quindi abbiamo l'altra soluzione che è $x=1/sqrt(e)$

[gio73]

"scarsetto": quindi $log x( 4log^2 x-1)=-3$ da cui abbiamo un altra soluzione che è $x=1/e^3$

Ciao Scarsetto, puoi fare la verifica per favore?
$log(1/(e^3))(4log^2(1/e^3)-1)=-3$
...

[Tommy85]

"gio73":[quote="scarsetto"] quindi $log x( 4log^2 x-1)=-3$ da cui abbiamo un altra soluzione che è $x=1/e^3$

Ciao Scarsetto, puoi fare la verifica per favore?
$log(1/(e^3))(4log^2(1/e^3)-1)=-3$
...[/quote]
$-105=-3$

[Obidream]

Proviamo in questo modo :
$4log^6(x)+3log^2(x)-log^3(x)=0$

Ricordando che come condizione abbiamo $x>0$

$3log^2(x)*[4/3log^4(x)-1/3log(x)+1]=0$

$3log^3(x)*[4/3log^3(x)-1/3+1/log(x)]=0$

Adesso ponendo $t=log(x)$

$3t^3[4/3t^3-1/3+1/t]=0$

Abbiamo che il primo fattore ci da $t^3=0$, mentre il secondo non ha soluzioni, infatti:

$4/3t^3-1/3+1/t=0$

Per $t!=0$

$4/3t^4=1/3t-1$

Provando a rappresentare graficamente queste 2 funzioni si vede che non esistono soluzioni, quindi l'unica che dobbiamo risolvere è $t^3=0$, ovvero $log^3(x)=0$, da cui $x=1$

[Tommy85]

Obidream:Proviamo in questo modo :
$4log^6(x)+3log^2(x)-log^3(x)=0$

Ricordando che come condizione abbiamo $x>0$

$3log^2(x)*[4/3log^4(x)-1/3log(x)+1]=0$

$3log^3(x)*[4/3log^3(x)-1/3+1/log(x)]=0$

Adesso ponendo $t=log(x)$

$3t^3[4/3t^3-1/3+1/t]=0$

Abbiamo che il primo fattore ci da $t^3=0$, mentre il secondo non ha soluzioni, infatti:

$4/3t^3-1/3+1/t=0$

Per $t!=0$

$4/3t^4=1/3t-1$

Provando a rappresentare graficamente queste 2 funzioni si vede che non esistono soluzioni, quindi l'unica che dobbiamo risolvere è $t^3=0$, ovvero $log^3(x)=0$, da cui $x=1$

grazie

[Tommy85]

"Obidream":Proviamo in questo modo :
$4log^6(x)+3log^2(x)-log^3(x)=0$

Ricordando che come condizione abbiamo $x>0$

$3log^2(x)*[4/3log^4(x)-1/3log(x)+1]=0$

$3log^3(x)*[4/3log^3(x)-1/3+1/log(x)]=0$

Adesso ponendo $t=log(x)$

$3t^3[4/3t^3-1/3+1/t]=0$

Abbiamo che il primo fattore ci da $t^3=0$, mentre il secondo non ha soluzioni, infatti:

$4/3t^3-1/3+1/t=0$

Per $t!=0$

$4/3t^4=1/3t-1$

Provando a rappresentare graficamente queste 2 funzioni si vede che non esistono soluzioni, quindi l'unica che dobbiamo risolvere è $t^3=0$, ovvero $log^3(x)=0$, da cui $x=1$

ora dovrei studiare dove la funzione è concava o convessa..quindi
$(e^(log^4 x))(4/x^2)(4log^6(x)+3log^2(x)-log^3(x))>0$
$e^(log^4 x)$è $>0$ per ogni x appartenente al dominio
$(4log^6(x)+3log^2(x)-log^3(x)>0$ lo possiamo scrivere cosi $log^2 x(4log^4(x)+3-logx)>0$ la soluzione di $log^2 x>0$ è $x>0$ mentre quello in parentesi come procedo?

[Obidream]

Per quello tra parentesi puoi mettere $t=log(x)$ e risolvere $4t^4+4-t>0$..ed io direi che questa è sempre verificata, ricordando che valgono solo le $x>0$, avendo posto $t=log(x)$