Studio del segno f(x,y)
Buonasera a tutti,
un esercizio mi chiede di:
-studiare il segno di \(\displaystyle f(x, y) = 2xy + x^2y − 2xy^2 \)
-trovare i punti di massimo e minimo assoluti e relativi di \(\displaystyle D = {(x, y) : −2 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ x + 2} \)
Ho un incredibile lapsus su come studiarne il segno
e veramente non riesco a venire a capo di una cosa così semplice!
Potreste gentilmente darmi una mano?
Per quanto riguarda la seconda parte ho fatto così:
-Ho calcolato il gradiente, quindi sostituendo partendo da (0,0) mi sono trovato i punti stazionari, che sono esattamente:
$(0,0)$
$(0,1) $ per x=0 in df/dx
$(-2,0) $ per y=0 in df/dy
$(-2/3 , 1/3)$ uguagliando le due derivate parziali poste a zero.
-Con l'Hessiana ho fatto le derivate seconde della parziale e messo tutto in matrice.
Mi viene soltanto un punto di minimo, relativo, ovvero $(-2/3 , 1/3)$
I punto (0,0) , (0,1) e (-2,0) sono punti di sella, essendo il determinante dell'Hessiana>0.
-Passiamo ora all'insieme D: si tratta di un triangolo.
•Per $ y=0 $ ho $ f(x,0)=0 $ con $ -2<=x<=0 $
•Per $ x=0 $ho $f(0,y)=0 $con $0<=y<=2 $
•Per $y=x+2 $(ovvero l'equazione della retta, con -2<=x<=0 ottengo \(\displaystyle f(x,+x+2)=-x^3 -4x^2 -4x \) . Derivando e ponendo uguale a zero mi trovo due punti stazionari: $(-2,0) ; (-2/3,4/3) $
Ricapitolando i miei punti stazionari sono:
-sul bordo: $ (-2,0) ; (-2/3,4/3) $.
-all'interno $ (-2/3, 1/3) $
Andando a sostituirli nella funzione di partenza $ f(x,y) $ ottengo che in D ho
-MINIMO ASSOLUTO per $ (-2/3,1/3)$
-MASSIMO ASSOLUTO per $ (-2/3, 4/3) $
Fine
Confermate che è corretto?
Vi ringrazio enormemente in anticipo, sto trovando parecchia difficoltà ad affrontare questi esercizi..
Buona serata e buona domenica a tutti!
un esercizio mi chiede di:
-studiare il segno di \(\displaystyle f(x, y) = 2xy + x^2y − 2xy^2 \)
-trovare i punti di massimo e minimo assoluti e relativi di \(\displaystyle D = {(x, y) : −2 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ x + 2} \)
Ho un incredibile lapsus su come studiarne il segno
e veramente non riesco a venire a capo di una cosa così semplice!Potreste gentilmente darmi una mano?
Per quanto riguarda la seconda parte ho fatto così:
-Ho calcolato il gradiente, quindi sostituendo partendo da (0,0) mi sono trovato i punti stazionari, che sono esattamente:
$(0,0)$
$(0,1) $ per x=0 in df/dx
$(-2,0) $ per y=0 in df/dy
$(-2/3 , 1/3)$ uguagliando le due derivate parziali poste a zero.
-Con l'Hessiana ho fatto le derivate seconde della parziale e messo tutto in matrice.
Mi viene soltanto un punto di minimo, relativo, ovvero $(-2/3 , 1/3)$
I punto (0,0) , (0,1) e (-2,0) sono punti di sella, essendo il determinante dell'Hessiana>0.
-Passiamo ora all'insieme D: si tratta di un triangolo.
•Per $ y=0 $ ho $ f(x,0)=0 $ con $ -2<=x<=0 $
•Per $ x=0 $ho $f(0,y)=0 $con $0<=y<=2 $
•Per $y=x+2 $(ovvero l'equazione della retta, con -2<=x<=0 ottengo \(\displaystyle f(x,+x+2)=-x^3 -4x^2 -4x \) . Derivando e ponendo uguale a zero mi trovo due punti stazionari: $(-2,0) ; (-2/3,4/3) $
Ricapitolando i miei punti stazionari sono:
-sul bordo: $ (-2,0) ; (-2/3,4/3) $.
-all'interno $ (-2/3, 1/3) $
Andando a sostituirli nella funzione di partenza $ f(x,y) $ ottengo che in D ho
-MINIMO ASSOLUTO per $ (-2/3,1/3)$
-MASSIMO ASSOLUTO per $ (-2/3, 4/3) $
Fine
Confermate che è corretto?
Vi ringrazio enormemente in anticipo, sto trovando parecchia difficoltà ad affrontare questi esercizi..
Buona serata e buona domenica a tutti!
Risposte
"Alexgri":
Buonasera a tutti,
un esercizio mi chiede di:
-studiare il segno di \(\displaystyle f(x, y) = 2xy + x^2y − 2xy^2 \)
-trovare i punti di massimo e minimo assoluti e relativi di \(\displaystyle D = {(x, y) : −2 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ x + 2} \)
Ho un incredibile lapsus su come studiarne il segno
Potreste gentilmente darmi una mano?
Studiare il segno significa andare a vedere dove è positiva e dove è negativa, essendo una funzione in due variabili non cerchiamo intervalli su una retta, ma regioni nel piano $xy$
la nostra funzione è un polinomio, vediamo cosa si può raccogliere
$f(x;y)=xy(2+x-2y)$
allora la funzione è positiva quando i fattori $xy$ e $2+x-2y$ sono concordi, disegniamoci quindi il nostro piano e cominciamo a mettere dei segni più e dei segni meno dove i fattori sono positivi e dove sono negativi, poi li consideriamo insieme per avere lo studio del segno.
Il primo fattore $xy$ è positivo nel I e III quadrante, negativo negli altri due, dell'altro fattore che mi dici?
Ciao gio73,
grazie della risposta!
Quindi vado a raccogliere e confrontare rispettivamente le due funzioni che si moltiplicano..
Per quanto riguarda $(2+x-2y)$ ottengo una retta $ y=x/2 + 1 $. Dal confronto con l'altra, $ (xy) $, ottengo che la funzione sarà positiva nella parte del primo quadrante compresa tra la retta e l'ascissa!
Allego immagine : http://img534.imageshack.us/img534/5218/vnzw.png
Per la seconda parte dell'esercizio puoi confermare?
Ti ringrazio,
buona domenica
grazie della risposta!
Quindi vado a raccogliere e confrontare rispettivamente le due funzioni che si moltiplicano..
Per quanto riguarda $(2+x-2y)$ ottengo una retta $ y=x/2 + 1 $. Dal confronto con l'altra, $ (xy) $, ottengo che la funzione sarà positiva nella parte del primo quadrante compresa tra la retta e l'ascissa!
Allego immagine : http://img534.imageshack.us/img534/5218/vnzw.png
Per la seconda parte dell'esercizio puoi confermare?
Ti ringrazio,
buona domenica
"Alexgri":
Ciao gio73,
grazie della risposta!
Quindi vado a raccogliere e confrontare rispettivamente le due funzioni che si moltiplicano..
Per quanto riguarda $(2+x-2y)$ ottengo una retta $ y=x/2 + 1 $. Dal confronto con l'altra, $ (xy) $, ottengo che la funzione sarà positiva nella parte del primo quadrante compresa tra la retta e l'ascissa!
Allego immagine : http://img534.imageshack.us/img534/5218/vnzw.png
solo lì è positiva? Da tutte le altre parti è negativa?
Per la seconda parte faccio l'esercizio e poi confronto i miei risultati con i tuoi.
Ops, ho scritto una cavolata. Allora:
-$ xy>=0$ è maggiore di zero nel primo quadrante e nel terzo quadrante.
-$ y>=x/2 +1 $ "sopra" la retta
Devo quindi fare l'intersezione delle due, ovvero:
Grazie!
-$ xy>=0$ è maggiore di zero nel primo quadrante e nel terzo quadrante.
-$ y>=x/2 +1 $ "sopra" la retta
Devo quindi fare l'intersezione delle due, ovvero:
Grazie!
Allora...
$y>1/2x+1$ vuol dire che devo considerare il semipiano "sopra" la retta, però a me pare che il fattore $(2+x-2y)$ sia positivo "sotto" quella retta, mi sbaglio? Nel mio disegno (uguale al tuo) individuo 3 regioni positive e 4 negative. Controlla bene, a volte mi capita di fare errori di calcolo.
$y>1/2x+1$ vuol dire che devo considerare il semipiano "sopra" la retta, però a me pare che il fattore $(2+x-2y)$ sia positivo "sotto" quella retta, mi sbaglio? Nel mio disegno (uguale al tuo) individuo 3 regioni positive e 4 negative. Controlla bene, a volte mi capita di fare errori di calcolo.
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