Studio del segno funzione mista
Buonasera
Stavo effettuando lo studio della seguente funzione
$(x+2)/(x+1) +log(x+1)$
Il dominio è $x>-1$
Andando a studiare il segno di questa funzione mi sono fermato.
So che la funzione
$(x+2)/(x+1)$ è positiva in tutto il dominio
Mentre $log(x+1)$ è positiva per x>0.
Non avevo ancora affrontato un caso del genere. Sicuro dallo 0 in poi è sempre positiva.
Come faccio a capire tra -1 e 0 la funzione come si comporta?
Stavo effettuando lo studio della seguente funzione
$(x+2)/(x+1) +log(x+1)$
Il dominio è $x>-1$
Andando a studiare il segno di questa funzione mi sono fermato.
So che la funzione
$(x+2)/(x+1)$ è positiva in tutto il dominio
Mentre $log(x+1)$ è positiva per x>0.
Non avevo ancora affrontato un caso del genere. Sicuro dallo 0 in poi è sempre positiva.
Come faccio a capire tra -1 e 0 la funzione come si comporta?
Risposte
Ciao! È una disequazione trascendente, non si risolve analiticamente.
Potresti provare a porre $f(x):=\frac{x+2}{x+1}+\log(x+1)$ e studiare la funzione per vedere se ottieni informazioni con gli strumenti dell'analisi, ad esempio tramite lo studio della derivata.
Potresti provare a porre $f(x):=\frac{x+2}{x+1}+\log(x+1)$ e studiare la funzione per vedere se ottieni informazioni con gli strumenti dell'analisi, ad esempio tramite lo studio della derivata.
Ok grazie, allora proseguo !!
Ciao Pemberton!,
Occhio che questo è falso: la funzione $ f(x) :=\frac{x+2}{x+1}+\log(x+1) = 1 + 1/(x + 1) + \log(x+1) $ ha dominio $D = (-1, +\infty) $ ed è ivi sempre positiva. Dallo studio del segno della derivata prima (molto semplice) che ti ha già suggerito Mephlip si vede subito che la funzione proposta ha un minimo nel punto $L(0, 2) $ ed il suo codominio è $C = [2, +\infty) $
"Pemberton!":
Il dominio è $x ≻ 1$
Occhio che questo è falso: la funzione $ f(x) :=\frac{x+2}{x+1}+\log(x+1) = 1 + 1/(x + 1) + \log(x+1) $ ha dominio $D = (-1, +\infty) $ ed è ivi sempre positiva. Dallo studio del segno della derivata prima (molto semplice) che ti ha già suggerito Mephlip si vede subito che la funzione proposta ha un minimo nel punto $L(0, 2) $ ed il suo codominio è $C = [2, +\infty) $
Si, è stato un errore di battitura. Se leggi la mia domanda il mio dubbio era proprio capire tra -1 e 0 cosa succedeva.
[ot]In realtà non è stato un errore di battitura, lo dico perché succede spesso anche a me; scrivendo ">-" si ottiene la scrittura $>-$, mentre mettendo uno spazio scrivendo "> -" si ottiene la corretta (in questo caso) scrittura $> -$. In sostanza la scrittura ">-" è associata al simbolo $>-$.[/ot]
Ok perfetto lo terrò presente ! grazie
Grazie Mephlip, non ci avevo fatto caso: anche oggi ho imparato una cosa nuova... 
Spiego un po' meglio perché ho affermato che la funzione proposta $f(x) $ è sempre positiva nel suo dominio $D$ senza calcolare la derivata prima (che comunque è semplice). Si parte dalla ben nota disuguaglianza $log t < t $ che vale $\AA t > 0 $, poi si pone $ t := 1/(x + 1) $, sicché si ha:
$log(1/(x + 1)) < 1/(x + 1) \implies - log(x + 1) < 1/(x + 1) \implies 1/(x + 1) + log(x + 1) > 0 $
Spiego un po' meglio perché ho affermato che la funzione proposta $f(x) $ è sempre positiva nel suo dominio $D$ senza calcolare la derivata prima (che comunque è semplice). Si parte dalla ben nota disuguaglianza $log t < t $ che vale $\AA t > 0 $, poi si pone $ t := 1/(x + 1) $, sicché si ha:
$log(1/(x + 1)) < 1/(x + 1) \implies - log(x + 1) < 1/(x + 1) \implies 1/(x + 1) + log(x + 1) > 0 $
@pilloeffe:
[ot]Prego! Ecco quali sono le scemenze che ti trasmetto io rispetto alle cose ben più profonde che trasmetti tu a me
[/ot]
[ot]Prego! Ecco quali sono le scemenze che ti trasmetto io rispetto alle cose ben più profonde che trasmetti tu a me
[/ot]
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