Studio del segno di una funzione un po' intricato

[obnubilated]

Buon pomeriggio a tutti!
Devo studiare il segno di una funzione che mi sembra quantomeno difficile.
La funzione in questione è: $f(x)=(3x^2-3x^2e^x+x^3e^x)/(1-e^x)^2$
Io ho provato a raccoglierla in questo modo:
$(x^2(3-3e^x+xe^x))/(1-e^x)^2$
Così ho potuto studiare il segno di $(1-e^x)^2>0$ e di $x^2>0$.
Il problema è sorto nello studio di $(3-3e^x+xe^x)>0$
Io ho provato così:
$-3e^x+xe^x> -3$
$e^x(-3+x)> -3$
$ln(e^x)+ln|(-3+x)|>ln|-3|$
$x+ln|-3+x|>ln(3)$
$x>ln(3)-ln|-3+x|$
$x>ln(3/(-3+x))$
È giusto come procedimento?

[obnubilated]

Ho appena provato a sostituire dei valori casuali.
E mi sembra che sia sempre verificato per $x>0$, i numeri negativi per ragioni ovvie non sono verificati.
Esempi:
Se $x=2$
$2>ln|(3/(-3+2))|$
$2>ln|(3/(-1))|$
$2>ln|(-3)|$
$2>ln|3|$ Il che è verificato poiché $ln(3)~=1$

Se $x=4$
$4>ln(3/(1))$
$4>ln|3|$ Il che è verificato poiché $ln(3)~=1$


Se $x=0$
$0>ln(1)$
$0>0$ Questo sarebbe l'unico caso in cui non è verificato.

Sono giuste le mie conclusioni? Ringrazio tutti anticipatamente.

[obnubilated]

up

[@melia]

Mi sembra che tu abbia fatto una gran confusione
La disequazione $(3-3e^x+xe^x)>0$ si può risolvere solo graficamente, ovvio che devi trovare dei grafici semplici, facendo particolare attenzione a non dividere per un fattore che possa cambiare segno. Raccogliendo $e^x$ si ottiene $e^x(-3+x)+3>0$, ma non è possibile dividere per $(-3+x)$ perché cambia segno in 3, meglio dividere per $e^x$, che è sempre positivo e, magari, anche per 3, si ottiene $1/e^x> -x/3+1$, o il suo equivalente $e^(-x)> -x/3+1$.
Tracci i grafici di $y=e^(-x)$ e di $y= -x/3+1$. La prima è una delle funzioni standard che dovresti saper rappresentare, la seconda è una retta. La soluzione della disequazione è determinata dall'intervallo in cui la funzione $y=e^(-x)$ sta sopra la retta, cioè per $x<0 vv x>alpha$ con $2,5

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[obnubilated]

Ti ringrazio della tua risposta, effettivamente non ho pensato di dividere per $e^x$.
Notando i due grafici mi sembra di aver sbagliato. Però riguardando i miei passaggi non trovo errori.
Effettivamente io ho solo "cambiato il gioco" lavorando con logaritmi anziché esponenziali.
Dove ho sbagliato?

Ti ringrazio ancora del tuo prezioso aiuto.

PS: Non mi sembra di aver trovato errori nel cambio del segno poiché ho solo usato proprietà dei logaritmi nell'effettuare le dovute semplificazioni.

[@melia]

Non hai risolto la disequazione che ti era richiesta, ma questa $e^x*|x-3|> |-3|$

[obnubilated]

Per cui, solo quando i valori sono positivi posso applicare i logaritmi? Credevo che applicandone il logaritmo mi sarei semplificato la vita, invece..

[obnubilated]

Chiedo scusa se ritiro su il topic, ma ho pensato: per dimostrare l'esistenza di N zeri sulla derivata dovrei dimostrare che esistono degli o piccoli di $x-x_0$?