Studio del segno di una funzione razionale con valore assoluto

[phigreco1]

Sto facendo lo studio della seguente funzione:
$f(x)=sqrt(abs(x^2-4))-x$

1)
$Dom(f)= RR=(-oo,+oo)$

2)
$lim_{x->(-oo)} f(x)=+oo$

$lim_{x->(+oo)} f(x)=0^-$

3) Segno della funzione:

$f(x)={(sqrt(x^2-4)-x,if x<-2 vv x>2),(sqrt(4-x^2)-x, if -2
Dunque: $f(x)>=0$

$=> f(x)={(x^2-4>=x^2, => AA x in (-oo,-2)uu(2,+oo), f(x)<=0 ),(4-x^2>=x^2, => AA x in (-2,2), f(x)>=0 <=> sqrt(2) Dunque la funzione è positiva solamente per i valori compresi tra le radici di due...

Già guardando i limiti agli estremi del dominio si nota il grosso problema che a $-oo$ la funzione va a $+oo$
Come va fatto lo studio del segno di questa funzione? Cosa sbaglio?

EDIT:
Forse ho capito.

Considerazioni:
$sqrt(abs(x^2-4))>=x, AA x<0$
Quindi devo studiare solamente:
$f(x)={(sqrt(x^2-4)>=0,if x>2),(sqrt(4-x^2)>=0, if 0
??
EDIT:
No, non c'ho capito una mazza

[@melia]

Per risolvere disequazioni irrazionali devi utilizzare uno schema che trovi anche qui oppure ragionare analizzando il segno dei due termini prima di effettuare il quadrato.

[phigreco1]

Ho perso tutti i neuroni per la risoluzione dello studio del segno della funzione e della derivata prima. Ahahahah grazie @melia