Studio del segno di una funzione mista: $cosx+sqrt3x+1>=0

[smorzino]

buongiooooooornooooooooo!!

ho la funzione $f(x)=cosx+sqrt3/2*x+1$

parto con il dominio di definizione: tutto $RR$

poi devo studiarne il segno.

osservo che $cos x$ varia tra $1$ e $-1$
quindi $cosx+1$ è senza dubbio sempre $>=0$
quindi per x positive, la funzione è senza dubbio positiva. ed in $x=0$, $f(x)=2$

ma per x negative come ragiono??
noto che se $x<=-2$ la funzione è certamente negativa; quindi essendo una funzione continua DEVE esserci un punto $x_0 in RR$ tale che $f(x_0)=0$
Ma qual' è questo punto??

$cos x=-sqrt3/2*x-1$.... non so determinare x.
ciao e grazie!!

[franced]

"smorzino":$cos x=-sqrt3/2*x-1$.... non so determinare x.

Prova con la bisezione.

[smorzino]

scusa puoi spiegarti meglio??

se avessi la $x$ solo come argomento del coseno, non avrei problemi.
se avessi la $x$ solo al primo grado a moltiplicare $sqrt3/2$ non avrei probemi.
è avere tutte e due contemporaneamente che mi mette in crisi.

cioè in una normale equazione isolo la x al primo membro e il suo valore al secondo membro.
qui come posso fare?

tu che intendi?
come posso operare con la bisezione??

ciao grazie.

[gugo82]

"smorzino":buongiooooooornooooooooo!!

ho la funzione $f(x)=cosx+sqrt3/2*x+1$

parto con il dominio di definizione: tutto $RR$

poi devo studiarne il segno.

osservo che $cos x$ varia tra $1$ e $-1$
quindi $cosx+1$ è senza dubbio sempre $>=0$
quindi per x positive, la funzione è senza dubbio positiva. ed in $x=0$, $f(x)=2$

ma per x negative come ragiono??
noto che se $x<=-2$ la funzione è certamente negativa; quindi essendo una funzione continua DEVE esserci un punto $x_0 in RR$ tale che $f(x_0)=0$
Ma qual' è questo punto??

$cos x=-sqrt3/2*x-1$.... non so determinare x.
ciao e grazie!!

Ok è tutto giusto quello che dici, compresa l'applicazione del Teorema degli Zeri: il problema è che in questa situazione, come in molte altre, non si può determinare il valore di $x_0$ con manipolazioni algebriche dell'uguaglianza $cosx+sqrt3/2*x+1=0$.

Per ovviare a questo inconveniente sono stati inventati algoritmi numerici che forniscono un valore approssimato di $x_0$, come ad esempio l'algoritmo della bisezione citato da franced. Usando tale algoritmo, puoi procedere così. Evidentemente risulta $f(-2)<00$ allora $x_0$ deve stare in $]-2,-1[$. Ne consegue che, nel primo caso, $-1$ è un'approssimazione per difetto di $x_0$ migliore di $-2$ mentre, nel secondo caso, $-1$ è un'approssimazione per eccesso di $x_0$ migliore di $0$; in ogni caso hai ristretto l'intervallo in cui cercare il vero valore di $x_0$ ed hai fornito delle approssimazioni di tale valore migliori di quelle iniziali (cioè $-2,0$).
Supponiamo che tu abbia trovato $f(-1)>0$, cosicchè certamente $x_0 in ]-2,-1[$; come sopra considera il punto medio $-3/2$ di $]-2,-1[$ e calcola $f(-3/2)$: se $f(-3/2)<0$ allora $x_0$ lo dovrai cercare all'interno dell'intervallo $]-3/2,-1[$, altrimenti, se $f(-3/2)>0$, dovrai continuare a cercare $x_0$ in $]-2,-3/2[$. Nel primo caso, $-3/2$ è un'approssimazione per difetto di $x_0$ migliore di $-2$ mentre, nel secondo caso, $-3/2$ è un'approssimazione per eccesso di $x_0$ migliore di $-1$; in ogni caso, ancora una volta, hai ristretto l'intervallo in cui cercare il vero valore di $x_0$ ed hai fornito delle approssimazioni di tale valore migliori di quelle iniziali (cioè $-2,-1$)...

Va da sé che il procedimento lo puoi applicare fino a che non hai ottenuto dei valori di approssimazione per eccesso e difetto di $x_0$ che differiscano per un numero piccolo fissato a piacere (questa cosa si può provare rigorosamente, ma non mi pare il caso adesso ).

Quello che ti ho appena descritto è un tipico metodo numerico iterativo per approssimare lo zero di una funzione. Però esistono anche altri metodi: il più usato è il metodo grafico, che ti illustro appresso.
Vuoi determinare i valori di $x$ tali che $cosx+sqrt3/2*x+1=0$. Manipolando l'equazione riesci a scrivere $cosx=-sqrt3/2*x-1$; se poni $G(x)=cosx, H(x)=-sqrt3/2*x-1$, il tuo problema si trasforma nel seguente: determinare l'ascissa di almeno un punto d'intersezione tra i grafici delle applicazioni $G,H$ nell'intervallo $[-2,0]$. A questo punto ti basta disegnare con cura i grafici delle due applicazioni $G$ ed $H$ (semplicissimi) e dare un'approssimazione anche grossolana del valore di $x_0 in ]-2,0[$ che sia l'ascissa del punto di intersezione dei grafici di $G$ ed $H$.
Come ti avevo preannunciato anche in questo caso si tratta di una soluzione approssimata, non delle soluzione esatta del tuo problema.

Spero di essere stato abbastanza chiaro.
Buono studio.

[ELWOOD1]

con cosa le hai disegnate scusa?

[fu^2]

@elwood
guarda nella sezione "il nostro forum" in alto

[ELWOOD1]

FIGOOOO!!!!ma sono trooooppppo avantiiii!