Studio del segno di una funzione integrale
Buonasera, ho difficoltà a risolvere il seguente funzione integrale : $ int_0^x frac {sent}{t} dt $. Per quanto riguarda il dominio mi viene tutta la retta reale. Invece per il segno non so come fare.. come si fa a trovare in generale il segno di una f integrale? Grazie e scusate il disturbo.
Risposte
Non è una cosa immediata, in generale, a meno di non avere a che fare con funzioni integrande con segno definito (sempre positive o sempre negative ovunque, oppure con un unico cambio di segno nel punto iniziale dell'integrale).
Nel caso in esame, puoi ragionare come segue.
Sai che $f$ è dispari, dunque basta guardare cosa accade in $[0,+oo[$. La $f$ ha massimi relativi nei punti $pi + 2n pi=(2n+1)pi$ e minimi relativi nei punti $2npi$ (con $n in NN$); per provare la positività di $f$ ti basta mostrare che $f((2n+2)pi)>=0$ per ogni $n in NN$.
Per $n=0$, la cosa è ovvia, perché $f(0)=0$.
Per $n=1$, trovi:
\[
\begin{split}
f( 2\pi ) &= \int_0^{2\pi} \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t\\
&= \int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t + \int_\pi^{2\pi} \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t\\
&= \int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t + \int_0^\pi \frac{\sin (t+\pi )}{t+\pi}\ \text{d} t\\
&= \int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t + \int_0^\pi \frac{-\sin t}{t+\pi}\ \text{d} t\\
&= \int_0^\pi \sin t\ \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+\pi}\right)\ \text{d} t\\
&= \pi \int_0^\pi \frac{\sin t}{t(t+\pi)}\ \text{d} t\\
& >0\\
&= f(0)\; ,
\end{split}
\]
che è quel che serviva. Allo stesso modo:
\[
f(4\pi) = f(2\pi) + \pi\ \int_0^\pi \frac{\sin t}{(t+2\pi)(t+3\pi)}\ \text{d} t > f(2\pi) \; ,
\]
e si vede una certa regolarità, di modo che il caso generale sarà simile. In altri termini, penso sia possibile provare (per induzione) che risulta $f((2n+2)pi)>f(2npi)$ per ogni $n in NN$, cosicché i minimi relativi di $f$ costituiscono una successione strettamente crescente e positiva.
Conseguentemente, il minimo assoluto di $f$ su $[0,+\infty[$ è preso in $0$ e perciò si ha $f(x)>=f(0) = 0$ per $x>=0$, dunque $f$ è positiva in $]0,+\infty[$ e si annulla solo in $0$.
Nel caso in esame, puoi ragionare come segue.
Sai che $f$ è dispari, dunque basta guardare cosa accade in $[0,+oo[$. La $f$ ha massimi relativi nei punti $pi + 2n pi=(2n+1)pi$ e minimi relativi nei punti $2npi$ (con $n in NN$); per provare la positività di $f$ ti basta mostrare che $f((2n+2)pi)>=0$ per ogni $n in NN$.
Per $n=0$, la cosa è ovvia, perché $f(0)=0$.
Per $n=1$, trovi:
\[
\begin{split}
f( 2\pi ) &= \int_0^{2\pi} \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t\\
&= \int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t + \int_\pi^{2\pi} \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t\\
&= \int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t + \int_0^\pi \frac{\sin (t+\pi )}{t+\pi}\ \text{d} t\\
&= \int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t + \int_0^\pi \frac{-\sin t}{t+\pi}\ \text{d} t\\
&= \int_0^\pi \sin t\ \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+\pi}\right)\ \text{d} t\\
&= \pi \int_0^\pi \frac{\sin t}{t(t+\pi)}\ \text{d} t\\
& >0\\
&= f(0)\; ,
\end{split}
\]
che è quel che serviva. Allo stesso modo:
\[
f(4\pi) = f(2\pi) + \pi\ \int_0^\pi \frac{\sin t}{(t+2\pi)(t+3\pi)}\ \text{d} t > f(2\pi) \; ,
\]
e si vede una certa regolarità, di modo che il caso generale sarà simile. In altri termini, penso sia possibile provare (per induzione) che risulta $f((2n+2)pi)>f(2npi)$ per ogni $n in NN$, cosicché i minimi relativi di $f$ costituiscono una successione strettamente crescente e positiva.
Conseguentemente, il minimo assoluto di $f$ su $[0,+\infty[$ è preso in $0$ e perciò si ha $f(x)>=f(0) = 0$ per $x>=0$, dunque $f$ è positiva in $]0,+\infty[$ e si annulla solo in $0$.
Ciao Mappers98,
La funzione integrale proposta è la ben nota funzione seno integrale
$ Si(x) := \int_0^x \frac{sin t}{t} dt $
Si tratta di una funzione dispari, infatti $Si(-x) = - Si(x) $, avente dominio $D = \RR $
E' positiva per $x > 0 $, nulla per $x = 0 $ e negativa per $x < 0 $
Eccone il grafico con l'aiuto di WolframAlpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Si(x)
In generale per lo studio delle funzioni integrali ti consiglio di dare un'occhiata all'ottimo e visitatissimo thread di Camillo Studio della funzione integrale - I... VI, il terzo dalla cima.
La funzione integrale proposta è la ben nota funzione seno integrale
$ Si(x) := \int_0^x \frac{sin t}{t} dt $
Si tratta di una funzione dispari, infatti $Si(-x) = - Si(x) $, avente dominio $D = \RR $
E' positiva per $x > 0 $, nulla per $x = 0 $ e negativa per $x < 0 $
Eccone il grafico con l'aiuto di WolframAlpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=Si(x)
In generale per lo studio delle funzioni integrali ti consiglio di dare un'occhiata all'ottimo e visitatissimo thread di Camillo Studio della funzione integrale - I... VI, il terzo dalla cima.
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